Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой с уравнением

Решение:

1) Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .

2) Найдем угловой коэффициент данной прямой:

.

3) Найдем угловой коэффициент искомой прямой: .

4) Записываем уравнение искомой прямой:

.

Теорема 2. Угол от прямой с уравнением (2)

и прямой с уравнением (3)

выражается формулой:

(4)

Доказательство.

Запишем уравнения данных прямых (общие) в виде уравнений с угловым коэффициентами:

, , .

, , .

Подставим значения и в формулу (1):

.

Теорема доказана.

Замечание 1. Формула(4)может использоваться и в случае (прямые и параллельны оси и ).

Следствие 1. Условием параллельности двух прямых является следующее:

.

Замечание 2. Если выполняются соотношения , то уравнения (2) и (3) эквивалентны, а прямые и совпадают (параллельны в широком смысле). Если же , то система из уравнений (2) и (3) несовместна, а прямые и не имеют общих точек (параллельны в узком смысле).

Следствие 2. Условием перпендикулярности двух прямых является следующее:

.

Замечание 3. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых могут быть выведены и иначе. Пусть и - нормальные векторы данных прямых. Тогда имеем:

1) для параллельных прямых и векторы и коллинеарны, тогда или , .

2) для перпендикулярных прямых и векторы и ортогональны, тогда или , .

Пример. Найти угол между медианой CD и стороной AB треугольника с вершинами: , , .

Решение.

1) Уравнение медианы CD данного треугольника ABC уже было найдено ранее: (смотри пример из §7).

Для этого сначала нашли точку D как середину отрезка AB.

Затем составили уравнение прямой CD как прямой, проходящей через две данные точки C и D.

2) Составляем аналогично уравнение прямой AB:

или или .

3) угол между прямыми CD и AB:

1 способ:

.

2 способ: