Нормальное уравнение прямой. Полярное уравнение прямой. Пучок прямых

1⁰.

Определение 1. Уравнение прямой называется нормальнымуравнением этой прямой, если (то есть нормальный вектор является единичным (ортом)).

Очевидно, любое общее уравнение прямой можно привести к нормальному (нормальной форме).

Для этого обе части общего уравнения надо умножить на некоторое число : и выбрать так, чтобы вектор был единичным, отсюда .

Число называется нормирующим множителем.

Легко видеть, что , так как .

Пусть прямая задана нормальным уравнением: , где < 0, . (Этого всегда можно добиться, умножив обе части уравнения прямой на -1). Начало координат лежит в отрицательной полуплоскости от прямой . Значит, , где основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую . Поэтому , тогда , - расстояние от начала координат до прямой .

Тогда имеем уравнение:

, где . (1)

Определение 2. Угол называется полярным углом нормали данной прямой.

Теорема. При подстановке в левую часть уравнения (1) координат любой точки плоскости получается число, равное с точностью до знака расстоянию этой точки до прямой .

Доказательство.

Пусть - произвольная точка данной прямой , тогда

. (2)

и уравнение прямой можно представить в виде:

. (3)

Для этого достаточно вычесть из уравнения (1) уравнение (2).

Пусть теперь - произвольная точка плоскости, не принадлежащая прямой . Подставим ее координаты в левую часть уравнения (3):

. (4)

где - нормальный вектор прямой .

Обозначим .

Тогда получаем:

.

Таким образом, действительно, при подстановке координат точки в левую часть уравнения (1) получается с точностью до знака расстояние точки до прямой .

Теорема доказана.

Замечание. Знак выражения зависит от того, как направлены векторы и (в одну полуплоскость, или в разные). Поэтому для точек одной полуплоскости это скалярное произведение положительно, а для другой – отрицательно.

2⁰. Выведем полярное уравнение прямой, не проходящей через полюс, заданной в системе координат нормальным уравнением … (1).

Для этого воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:

Подставив значения и в нормальное уравнение прямой, получим:

.

Отсюда получаем полярное уравнение данной прямой:

. (5)

Если же прямая проходит через полюс, то её задают уравнения и .

Замечание 2. В уравнении (5) и являются полярными координатами произвольной точки прямой , - расстояние прямой от полюса, полярный угол нормали.

, .

3⁰.

Определение 3. Пучком прямых с центром называется совокупность прямых плоскости, проходящих через точку А.

Пусть даны уравнения двух прямых пучка:

. (1)

. (2)

где .

Рассмотрим уравнение:

. (3)

где и могут принимать любые значения, одновременно не равные нулю. Это уравнение линейное, а значит, является уравнением некоторой прямой. Координаты точки пересечения данных прямых удовлетворяют уравнению (3), так как обе данные прямые проходят через центр пучка, то есть координаты точки удовлетворяют уравнениям (1) и (2).

Более того, оказывается, что числа и всегда можно подобрать так, чтобы уравнение (3) определяло бы любую (заранее назначенную) прямую пучка с центром . Поэтому уравнение (3) называется уравнением пучка прямых с центром .

Например, при , получается прямая с уравнением (1), а при , - прямая с уравнением (2).

Если положить , , то получим уравнение:

. (4)

Этим уравнением можно определить любую прямую пучка с центром А, кроме прямой (2).

Пример. Даны уравнения сторон треугольника ABC:

AB: ;

AC: ;

BC: .

Найти уравнение высоты AD (прямой, на которой лежит эта высота).

Решение.

1 способ.

1) Рассмотрим пучок прямых с центром , затем уравнение прямой AD этого пучка (искомой прямой - высоты) в виде (4): или (5).

2) Находим значение из условия перпендикулярности прямых AD и BC:

.

3) Уравнение высоты AD имеет вид: или .

2 способ.

1) Находим точку : .

2) Далее поступаем, как и в примере из §12 перед теоремой 2.