Полярная система координат

Определение 1. Полярной системой координат называется совокупность точки О – полюса – и проходящей через нее оси р – полярной оси, расположенных на положительно ориентированной плоскости.

Координатами произвольной точки М в этой системе координат называются числа ρ и Ө, где:

1) расстояние ρ=ОМ – полярный радиус,

2) угол Ө между положительным направлением оси р и лучом ОМ – полярный угол, причем 0≤ ρ<+∞, -π<Ө₀≤ π – главное значение полярного угла Ө, Ө = Ө₀+2πк, к℮Z.

Для полюса О полярный радиус ρ=0, полярный угол не определен.

Замечание 1. Если полюс О совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат Оху, а полярная ось р – с осью абсцисс Ох, то имеем:

x=ρcosӨ

y=ρsinӨ, обратно:

ρ=

tgӨ= для М(х;у), х≠0

Если х=0, то Ө= или Ө= - в зависимости от знака у.

Пример 1. Найти полярные координаты точки М(-2;-2).

ρ = tg Ө= . Так как х<0 и у<0, то точка М находится в III четверти и Ө=180⁰+45⁰=225⁰. Итак: ρ = , Ө₀=225⁰

^(ρ)

Замечание 2. По определению полярного радиуса ρ≥0, но иногда считают, что ρ может быть и отрицательным. Тогда предполагают, что точка М лежит на продолжении стороны угла Ө и ОМ= . В этом случае полярные координаты называются обобщенными.

Пример 2. ρ = , Ө₀=225⁰

ρ =- , ρ Ө₀=45⁰

Определение 2. уравнение вида F(ρ, Ө)=0 называется уравнением линии в полярных координатах, если ему удовлетворяют полярные координаты каждой точки этой линии и только они.