Деление отрезка в данном отношении

Определение. Пусть на прямой лежат направленный отрезок и произвольная точка М. Отношением, в котором эта точка делит данный отрезок, называется такое число λ, что:

(1)

Обозначение: λ=(AB,M)

А

M

B

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:

1) λ>0 , точка М лежит внутри отрезка АВ, .

λ=1 , М – середина отрезка АВ.

2) λ=0 , - точка М совпадает с началом А отрезка АВ.

3) λ<0 , точка М лежит вне отрезка АВ, .

А

M

B

Замечание: λ -1, т. к. в этом случае или и и , то есть .

Теорема. Если точка M(x;y) делит в отношении λ -1 направленный отрезок с началом А(х₁;у₁) и концом В(х₂;у₂), то

, . (2)

Доказательство. - согласно определению. Перейдем к координатам: , .

Из условия равенства векторов и имеем:

Теорема доказана.

Следствие. Если М – середина направленного отрезка , то λ=1 и

(3)