Зв‘язок між будь-яким результатом і факторами, що на нього впливають, у загальному вигляді описується як і зветься залежністю функції y від аргументів x1, x2, x3,…xn

Для визначення статистичних залежностей необхідно виконати 2 кроки:

q На підставі фізичного змісту статистичних даних прийняти вид аналітичних залежностей, наприклад, поліном другого ступеню, експонента, лінійна залежність і т. п.

q За допомогою метода найменших квадратів по наявних статистичних даних знайти значення величин, які визначають вид прийнятих залежностей, тобто закон, по якому здійснюється прогноз поведінки об’єкту, який досліджується, на майбутнє. Отримані аналітичні залежності є рівняннями регресії.

Регресія є парною, якщо вона описує аналітичну залежність між функцією і однією змінною і має вигляд y = f(x) і множинною, якщо вона описує аналітичну залежність між функцією та декількома змінними і має вигляд y = f(x₁, x₂, x_n).

Якщо залежність лінійна, то і регресія буде лінійною, в протилежному випадку регресія буде нелінійною. Дуже важливою характеристикою регресіонних залежностей є міра їх достовірності, яка оцінюється величиною R² і знаходиться у межах 0 £ R² £ 1. При R²=0 величини, для яких визначається рівняння регресії, є незалежними, а при R²=1 має місце функціональна (а не статистична) залежність. Прийнято враховувати припустимим R=0,7.

Одним із засобів підготовки вихідної інформації е використання ВФ.

ВФ – це математичний вираз економічних і технологічних залежностей процесу, об‘єкта, явища. При цьому результативний показник виробництва являє функцію затрат певних виробничих ресурсів. Такими показниками є урожайність, продуктивність, рентабельність, собівартість, прибуток і т. п.

Звісно, наприклад, що урожайність і продуктивність є одними з основних показників розвитку АПК. Вони залежать від множини факторів, які діють на них (затрати праці, грошово-матеріальні витрати). В промисловому виробництві продуктивність, випуск валової продукції залежать від основних фондів і оборотних коштів. Тому, щоб обґрунтовано планувати, виробництв, треба, перед усім, обґрунтовано планувати вищенаведені показники. Розрахунки середніх статистичних показників надають приблизні значення. Для більш точного розрахунку показників успішно використовуються ВФ.

ВФ можуть бути представлені різноманітними способами:

Табличний спосіб – найбільш зручний тоді, коли вивчаються залежності за даними безпосередніх спостережень;

Графічний спосіб найбільш наочний. На графіку безпосередньо виявляються основні якості функції і хід її зміни;

Вісьма зручним і розповсюдженим є аналітичний спосіб виразу ВФ. В цьому випадку ВФ є математичною моделлю багатофакторного економічного процесу, який у формі рівняння встановлює зв‘язок між ознаками, які вивчаються.

На відміну від економіко-математичних моделей, які включають в собі систему нерівностей (рівнянь). ВФ – це математико-статистичні моделі і у більшості випадків описуються одним рівнянням, у якому результати роботи представляються як функція n незалежних величин (факторів) и записується як

, де

y - виробничий результат, а x₁, x₂, x₃,…x_n - фактори виробництва.

Перши спроби дослідження виробничих зв‘язків у сільському господарстві спостерігалися ще у 50-х роках XIX віку. Німецький вчений Юстус Лібіх спробував виразити зв‘язок між кількістю внесених споживчих речовин і врожайністю культур. Ідея Лібіха була сформульована Бондарфом и Плессингом і вигляді функції y = ax, яка залежить від ґрунту, клімату, виду рослин, культури їх вирощування и др. При запису функції використані позначення:

y - врожайність;

x - кількість внесених поживних речовин;

а - постійна величина, яка характеризує ступень впливу добрив на врожайність.

Пізніше формула видозмінилася и прийняла вигляд:

, де

- постійна величина, яка виражає врожайність без добрив. Це звісна тепер парна лінійна кореляція.

Ця функція виражає залежність врожайності тільки від однієї споживчої речовини. Так цей закон мінімуму Ю. Лібіха спростував Эдвальд Вольні у 1869 році, коли вивів більш жорстку залежність величини врожаю від сукупності трьох факторів: світла, води і живлення. Ця залежність не була представлена в аналітичній формі, але графічне її представлення заслуговує на увагу. Однак ця формула не давала можливості визначити максимальну врожайність, так як при внесенні добрив до визначеної величини вона знижувалася. Так що формула неправильно описувала функцію .

Пізніше (1909 р.) незалежно один від одного пропонували формулу:

, де

- максимальна врожайність;

- максимальна прибавка до врожаю;

R - ступень зниження максимальної ефективності добрив;

X - кількість внесених добрив.

Ця функція є більш точною, але має недоліків, так як припускає зниження потужності додатних вкладень і припускає досягнення врожайності максимуму якщо .

Англійці Кроутер та Іетс пропонували інший варіант формули Мітчерліха – Спіллмана:

,

де - врожайність без добрив;

А - максимальна прибавка до врожаю;

К - постійна величина для даного виду добрив.

X - кількість внесених добрив.

Немчинов В.С. наряду с вивчення впливу на врожайність методологічних і агротехнічних факторів використовувал виробничі функції в економічних дослідженнях.

За допомогою багатофакторних рівнянь регресії було вивчено вплив різноманітних факторів на розміри грошової оплати людино-дня.

,

де у - грошова оплата;

x₁ - розмір засобів виробництва у розрахунку на 1 га с. г. площі;

x₂ - % спеціалізації галузей в товарній продукції;

x₃ - врожайність картоплі, ц / га.

Види рівнянь, за допомогою яких можуть бути відображені виробничі функції, визначаються в залежності від суті досліджуваного процесу и характеру факторів.

Звісні 2 способи визначення виду ВФ:

1. Побудова графіка і підбір відповідних кривих.

К виробничим функціям, рівняння яких графічно зображаються кривими, відносяться, перед усім, квадратична функція параболічного типу.

2. Вираз даної залежності у вигляді суми функцій визначеного класу , що потребує достатніх математичних знань.

Але існує загальноприйняті види функцій, які і будуть тут пропоновані.

Якщо цю формулу розповсюдити на ряд поживних речовин, то отримаємо множинну лінійну кореляцію.

Якщо є можливість припустити, що величина результату y буде зростати або убивати зі збільшенням фактора x, і в межах його зміненні можливі max або min величини y, то к рівнянню прямої слід приєднати третій член. Рівняння прийме вигляд:

За допомогою такої функції можна вивчити зв‘язок “врожайність - опади”.

В економічних розрахунках часто використовують параболу другого порядку, яка допускає падаючи і від‘ємні прирощення результату виробництва

Наведена функція достатньо гарно описує затрати на корми для тварин на відгодівлі. Вона припускає зниження продукту, який доповнює одиницю затрат.

При використанні виробничих функцій часто роздивляють пари величин, зворотно пропорційні друг другу, наприклад, трудомісткість іпродуктивність праці; норма часу и норма виробітку; собівартість і рентабельність.

Така зворотно пропорційна залежність описується рівнянням гіперболи

Ця залежність основана на припущенні, що частина расходів зростає пропорційно випуску продукції, а решта їх частина а₁ залишається постійною. Параметр а₀ має конкретний економічний зміст.

Може бути використана і гіперболічна функція іншого типу:

, де n > 1;

Ця функція основана на тому, що затрати виробництва можуть розподілятися на зростаючи пропорційно випуску продукції і зростаючи більш повільно.

В практиці аграрних економічних розрахунків широко використовується В Ф ступеневого виду:

, де а₁ – коефіцієнт регресії.

Ця функція зручна тим, що шляхом логарифмування вона приводиться к лінійному виду (відносно логарифмів х и у), яка вирішується простіше, ніж нелінійна. В той же час ступенева функція являючись криволінійною, володіє більшою гнучкістю, і тим самим дає можливість ліпше аппроксимувати складні економічні взаємозв’язки.

За кордоном к цьому типу відноситься широко розповсюджена функція Кобба-Дугласа

, де

y - результат виробництва;

х _i – i -ий аргумент, який впливає на результат;

a₀ – коефіцієнт пропорційності;

- показник ступеню i -ого аргументу;

П – знак добутку.

За допомогою функції

де

y – національний доход;

х₁ – трудові ресурси;

х₂ – виробничі фонди;

можна визначити вплив таких факторів, як трудові ресурси і виробничі фонди на величину національного доходу.

Та же функція , де

y – валовий продукт;

х₁ – основні фонди;

х₂ – оборотні засоби;

Це дає можливість дослідити вплив таких факторів, як основні фонди оборотні засоби, на величину валового продукту.

За допомогою формули Кобба-Дугласа можна визначити чисельне значення диференційної ренти

, де

х_i - фактори I групи, які визначають диференційну ренту I (якість ґрунту, опади, температура, радіація, положення підприємства);

- фактори II групи, які визначають диференційну ренту II та інтенсифікують сільське господарство (агротехніка, сорти, якість насіння, добрив, породи тварин, концентрація, механізація, організація праці, оплата праці та ін.).

_i і _i - показники ступеню аргументів х_i и z _k;

- величина, яка визначає ступень впливу на доходність факторів I групи;

- величина, яка визначає ступень впливу на доходність факторів II групи.

Раніше ми розглянули лінійну багатофакторну кореляційну модель:

В економічному аналізі застосовують рівняння більш складного криволінійного типу, яке ліпше описує багатофакторні економічні взаємозв‘язки.

Одним з таких рівнянь є поліном виду:

і т. д., тобто розкладення функції у рядок Тейлора.

Як криволінійний, цей поліном володіє достатньою гнучкістю і у багатьох випадках, вже будучи другого ступеню хороше описує складні залежності.

В економіці широко використовується ступенева багатофакторна функція виду:

Ця функція, як і ступенева з одною мінною, приводиться до лінійного виду шляхом логарифмування.

Дослідження за допомогою виробничих функцій відносяться до області е кономіко – статистичного моделювання. Побудову математичної моделі повинен передувати ретельний якісний аналіз економічного процесу, який моделюється. Моделювання процесу здійснюється в декілька етапів:

q економічний аналіз, визначення залежної змінної (функції) і виявлення факторів (аргументів), які впливають на її значення;

q сбір та обробка статистичної інформації;

q визначення виду виробничої функції;

q запис математичного рівняння у загальному вигляді;

q визначення параметрів (коефіцієнтів) математико-статистичної моделі і їх достовірності;

q статистична і економічна оцінка моделі;

q експериментальна перевірка моделі;

q економічна інтерпретація моделі і впровадження її у виробництво.