Графічне зображення варіаційних рядів

Зручне і наочне графічне зображення варіаційних рядів у вигляді полігона, гістограми, кумуляти і огіви. Для зображення дискретних варіаційних рядів частіше застосовують полігон.

Побудуємо полігон для нашого прикладу. Для цього в прямокутній системі координат на осі абсцис відкладемо значення ознак, а на осі ординат – величини частот.

З наведеного прикладу видно, що чим ближче значення ознаки до середньої арифметичної, тим частіше воно зустрічається. Подібний розподіл значень ознаки називається нормальним розподілом.

Для обчислення середньої арифметичної одержаного варіаційного ряду використовуємо метод добутків.

Складемо таблицю, дані якої використовуємо для розрахунку кінцевого результату. В першому стовпчику таблиці Х запишемо класи варіаційної ознаки від найменшого до найбільшого, в другому А відповідні частоти. Клас з найбільшою частотою приймемо за умовну середню або за умовну точку відліку і позначимо (для наочності він виділений лініями від стрічок інших класів). В стрічку цього класу нічого не вписується. Як правило, він знаходиться в середині варіаційного ряду. В наступний стовпчик () записуємо відхилення окремих класів від умовної точки відліку з відповідними знаками. В останньому стовпчику А() запишемо добутки частот А на відхилення .

Середню арифметичну визначимо за формулою:

.

Таблиця 3. Обчислення середньої арифметичної зваженої для загального числа поросят, що народилися, при великій кількості випадків

X	A		A()
		-4 -3 -2 -1	-8 -9 -12 -7
		-	-
		-

Величину середньої арифметичної можна обчислити більш точно за формулою:

.

Отримаємо ту ж величину, але такий збіг буває рідко. Потрібно мати на увазі, що чим більше класів виділено у варіаційному ряді, тим точніша середня арифметична, але більший об’єм обчислювальної роботи.

Визначаючи умовну точку відліку, потрібно враховувати, чи має ознака дискретне значення чи може мати будь-яку величину, тобто неперервне значення. В першому випадку умовну середню X при інтервалі класу більше одиниці (k>1) обчислюють як середню показників граничних величин класу. Так, при k=2

В другому випадку X обчислюють додаванням до початку нульового класу, відповідну X .

Обчислення медіани і моди. За характеристику варіаційного ряду застосовують медіану (), тобто значення варіаційної ознаки, яка припадає на середину упорядкованого варіаційного ряду. При непарному числі випадків (2m+1) в ряді значення ознаки серединного випадку (m+1) буде медіанним. Якщо в ряді парне число (2m) випадків, медіана дорівнює середній арифметичній з двох середніх значень.

Для обчислення медіани при непарному і парному числах варіантів використовують формули:

; i

Для наведеного вище прикладу

Мода (М ) – це варіант, що найбільш часто зустрічається в даному варіаційному ряді. Для дискретного ряду мода визначається за частотами варіантів і відповідає варіанту з найбільшою частотою.

Для визначення величини моди використовують формулу:

.

Де – значення варіаційної ознаки, яке відповідає початковому модальному класу; - частоти класу, який передує модальному; - частоти модального класу; - частоти класу, який йде після модального.

Розрахуємо моду для попереднього прикладу, змінивши його так, щоб величина класу k була рівна 2. Вихідні дані внесемо в таблицю.

Таблиця 4. Варіаційний ряд по показнику плодючості свиноматок

Клас по плодючості	6…7	8…9	10…11	12…13	14…15
Частота(m)

Для цього прикладу модальним класом буде клас з частотою

X=10 гол.; =13; =21; =8; k=2.

Величини моди (10,76) і середньої арифметичної (10,06) різні і співпадають лише для симетричних варіаційних рядів, у яких частоти варіант, рівновіддалених від середньої, рівні між собою. Для рядів з асиметричним розподілом частот, неоднаково розміщених навколо середньої, більш важливе значення має показник моди.

Моду і медіану часто використовують для характеристики якісних ознак, що мають місце при вивченні генетичних особливостей альтернативних (можливих) ознак (наприклад, при вивченні типів гемоглобіну у ВРХ).

Середні величини характеризують варіаційний ряд одним показником без врахування варіаційної ознаки. Для зміни мінливості варіаційна статистика пропонує ряд показників: варіаційний розмах (ліміти), середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення, нормоване відхилення.

Обчислення дисперсії (девіанти) і середнього квадратичного відхилення ознаки (стандартного відхилення). Дисперсія (), або середній квадрат відхилень, являє собою середню арифметичну із квадратів відхилень варіант від їх середньої арифметичної і розраховується за формулами

(незважена дисперсія);

(зважена дисперсія).

Середнє квадратичне відхилення () – це квадратний корінь із дисперсії. Незважене квадратичне відхилення обчислюється за формулою:

,

зважене

.

Ці формули застосовують для великої вибірки, а для малої вибірки вони дають зміщені величини і . Щоб ці величини правильно характеризували мінливість генеральної сукупності, з якої взята мала вибірка, їх потрібно дещо змінити:

;

.

Зміщеність усувається тим, що сума квадратів відхилень варіантів від їх середньої арифметичної ділиться не на об’єм сукупності (n), а на число ступенів свободи (n-1), яке дорівнює числу всіх елементів, що вивчаються, без числа обмежень різновидностей. При обчисленні дисперсії і середнього квадратичного відхилення мається одне обмеження, а саме, середня арифметична. Тому різновидність елементів в даному випадку обмежена однією умовою, а число ступенів свободи дорівнює числу елементів без одного (n-1).

Ці формули застосовують для точних розрахунків. Але їх використання пов’язане з великим об’ємом обчислювальної роботи із-за обчислень . Тому в практиці більше застосовують робочі формули:

;

.

Приклад. Розрахувати середній надій 12 корів і ступінь його мінливості.

Якби і були розраховані по формулах, то =10,79 і =3,43.

Потрібно відмітити, що чим більша вибірка, тим менший вплив (n-1) на результат і менша різниця між результатами, обчисленими по тих чи інших формулах.

Таблиця 5. Вихідна інформація і розрахункові величини для визначення середнього надою корів і ступеня його мінливості.

Номер тварини	Вихідні дані надою 1 гол., ц	Розрахункові величини
	20,6 20,2 19,9 20,3 21,6 22,1 22,7 24,1 25,4 28,2 29,4 28,0	424,30 408,04 396,01 412,09 466,56 488,41 515,29 580,81 645,16 795,24 864,36 784,00
	282,5	6780,33

При відборі тварин селекціонер має діло зі спадковістю і мінливістю ознак. Тому необхідно розрахувати коефіцієнти мінливості і спадковості, які визначають еволюцію популяції. З урахуванням вище прийнятих позначень приведемо формули для обчислення цих параметрів.

Обчислення коефіцієнта мінливості. На відміну від середнього квадратичного відхилення, яке є абсолютною величиною, коефіцієнт мінливості є відносною величиною, яка показує ступінь варіації (відхилення) дійсних значень k -ої варіаційної ознаки від її середнього значення. Його розраховують за формулою:

Обчислення коефіцієнта спадковості. Вивчення мінливості господарсько корисних ознак тварин показало, що амплітуда її дуже велика. На мінливість впливають і інші фактори (фенотипові мінливості) і спадковість (генотипові мінливості). Умови оточуючого середовища суб’єктивні і їх можна змінювати, а спадковість - об’єктивний фактор, тому необхідно із загальної амплітуди мінливості k-ої ознаки виділити частину, яка обумовлена спадковістю. Здібність ознаки до генотипової мінливості в середині популяції називається спадковістю ознаки. Для чисельної її характеристики використовують коефіцієнт в процентах чи долях.

Найбільше поширення для обчислення має метод подвоєння кореляції, чи регресії, між фенотипами груп родичів (дочок – матерів, синів – батьків). Наведемо одну із формул, запропонованих Райтом:

де - коефіцієнт кореляції між фенотипами груп родинних тварин.

Селекційні ознаки (надій, вміст жиру в молоці, жива вага) взаємопов’язані. Цей зв’язок між різними селекційними ознаками в середині однієї групи тварин, а також між однаковими ознаками двох груп, що порівнюються, характеризується коефіцієнтом кореляції.