Відкрита модель Леонтьева

Якщо модель визначається виробничим сектором, зовнішнім ресурсом і попитом, відмінним від потреб технологічних процесів, то вона є відкритою. Виробничий сектор випускає n продуктів, які частково витрачаються усередині сектора. Зовнішній ресурс зазвичай ототожнюється насилу. Розглянемо тільки виробничий сектор. Позначимо матрицю витрат через вона позитивна. Нехтуватимемо на якийсь час зовнішнім ресурсом. Хай - вектор випуску системи.

Тоді - вектор чистого випуску, тобто набір об'ємів продуктів, що залишаються для розподілу поза виробничим сектором.

Основне завдання відкритої моделі полягає в наступному: чи може економіка поставити набір чистої продукції, що призначається кінцевим попитом або асортиментним набором продуктів?.

Позначимо кінцевий попит через вектор стовпець .

Тоді основне завдання може бути сформульована таким чином: чи існує вектор такий, що , тобто такий, що для будь-якого

Якщо (1-А) – невироджена матриця, то завжди можна представити у вигляді:

У випадку, якщо - позитивна матриця, то - невід‘ємний вектор, і завдання було б вирішене.

Розглянемо роль зовнішнього ресурсу у відкритій моделі. Позначимо об'єм зовнішнього ресурсу, потрібний для випуску одиниці j – ої галузі, через , а вектор з компонентами через ; Модель, що враховує зовнішній ресурс, повинна задовольняти додатковій умові: , де - величина, що обмежує допустиме споживання зовнішнього ресурсу. Досліджувати відкриту модель Леонтьева – значить, з'ясувати, чи може кінцевий попит бути задоволений в будь-яких пропорціях. Вважатимемо, що додаткова умова виконується. Якщо опиниться ще, що матриця позитивна, то за наявності цих двох умов кінцевий попит задовольняється в будь-яких пропорціях.

Сформулюємо два економічно осмислених умови, кожне з яких забезпечує необхідний результат:

1. Хай деякий ненульовий кінцевий попит може бути задоволений по всіх продуктах. Тоді кінцевий попит може бути задоволений по всіх пропорціях.

2. Хай існує деяка безліч позитивних цін, при яких кожна галузь може покрити витрати виробництва і, принаймні, для однієї галузі отримати позитивний прибуток. Тоді кінцевий попит може бути задоволений в будь-яких пропорціях.

Якщо перша умова виконується, то із строгою нерівністю для деякого i і, тобто і із строгою нерівністю, принаймні, для одного i і.

Якщо виконується друга умова, то із знаком нерівності для деякого j.