Векторное поле. Поток и циркуляция векторного поля

При изучении данной темы Вам предстоит ознакомиться со следующими вопросами:

· Векторное поле. Основные понятия.

· Поток векторного поля.

· Дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса в векторной форме.

· Циркуляция и ротор векторного поля. Теорема Стокса в векторной форме.

После изучения данных вопросов в опорном конспекте Вам следует ответить на вопросы для самопроверки. Если Вы будете испытывать затруднения в ответах, обратитесь к [2] или к глоссарию. Студенты очно-заочной и заочной форм обучения должны решить две задачи под № 131-150 из контрольной работы № 8 в соответствии со своим вариантом.

Векторное поле. Основные понятия

Аналогично понятию скалярного поля вводится понятие векторного поля. А именно, если в каждой точке некоторой пространственной области определена векторная величина, то, говорят, что в этой области задано векторное поле. Примерами векторных полей в физике могут служить силовое поле, поле скоростей точек твердого тела, электромагнитное поле.

Поле называется стационарным, если оно не изменяется во времени. Мы далее будем рассматривать только стационарные векторные поля.

Если область, в которой задано векторное поле, - плоская и все векторы лежат в этой же плоскости, то векторное поле называется плоским.

Если в пространстве имеется прямоугольная декартова система координат , то векторное поле можно задавать его координатами в этой системе, т.е.

(2.7)

Приведем некоторые понятия, которые играют важную роль при изучении векторного поля. Векторной линией поля называется линия, для которой в каждой ее точке М вектор является ее касательным вектором (рис. 2.2)

Если через каждую точку некоторой кривой проходит некоторая векторная линия поля , то поверхность, составленная из всех этих векторных линий, называется векторной поверхностью поля (рис. 2.3).

Если кривая - замкнутая, то векторная поверхность в этом случае называется векторной трубкой (рис. 8.4).

Примерами векторных линий могут служить линии тока жидкости в поле линейных скоростей частиц стационарного потока жидкости или магнитные силовые линии в магнитном поле.

Если - координаты точки векторной линии , то они удовлетворяют уравнениям:

(2.8)

которые называются дифференциальными уравнениями векторных линий.

В случае плоского векторного поля система уравнений (2.8) примет вид:

.

Пример 2.6. Найти векторные линии поля .

Решение. Запишем дифференциальное уравнение векторных линий:

или . Это дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получаем

,

где - произвольная постоянная. Таким образом, векторными линиями данного поля являются равнобочные гиперболы .