Задача 5.6. Построить кривые второго порядка по заданным уравнениям. Для окружности указать центр и радиус; для эллипса и гиперболы – фокусы; для параболы – фокус и директрису

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) а) ; б) ; в) ;

г) ;

2) а) ; б) ; в) ;

г) ;

3) а) ; б) ; в) ;

г) ;

4) а) ; б) ; в) ;

г) ;

5) а) ; б) ; в) ;

г) ;

6) а) ; б) ; в) ;

г) ;

7) а) ; б) ; в) ;

г) ;

8) а) ; б) ; в) ;

г) ;

9) а) ; б) ; в) ;

г) ;

10) а) ; б) ; в) ;

г) ;

11) а) ; б) ; в) ;

г) ;

12) а) ; б) ; в) ;

г) ;

13) а) ; б) ; в) ;

г) ;

14) а) ; б) ; в) ;

г) ;

15) а) ; б) ; в) ;

г) ;

16) а) ; б) ; в) ;

г) ;

17) а) ; б) ; в) ;

г) ;

18) а) ; б) ; в) ;

г) ;

19) а) ; б) ; в) ;

г) ;

20) а) ; б) ; в) ;

г) ;

21) а) ; б) ; в) ;

г) ;

22) а) ; б) ; в) ;

г) ;

23) а) ; б) ; в) ;

г) ;

24) а) ; б) ; в) ;

г) ;

25) а) ; б) ; в) ;

г) ;

26) а) ; б) ; в) ;

г) ;

27) а) ; б) ; в) ;

г) ;

28) а) ; б) ; в) ;

г) ;

29) а) ; б) ; в) ;

г) ;

30) а) ; б) ; в) ;

г) .

Пример 5.6

Построить кривые второго порядка по заданным уравнениям. Для окружности указать центр и радиус; для эллипса и гиперболы – фокусы; для параболы – фокус и директрису.

а) ; б) ; в) ;

г) .

Решение

а) – окружность с центром в точке и радиусом (рис. 16).

б) – эллипс (рис. 17), – малая полуось; – большая полуось. Учитывая, что большая полуось расположена по оси , фокусы будут иметь следующие координаты

,

где .

Найдем координаты фокусов

,

тогда

.

в) – гипербола (рис. 18), – действительная полуось; – мнимая полуось. Учитывая, что действительная полуось располо­жена по оси , фокусы будут иметь следующие координаты

,

где .

Найдем координаты фокусов

,

тогда

.

Рис. 16

Рис. 17

г) – парабола с вершиной в точке , – ось симметрии; – параметр параболы (рис. 19). Ветви параболы направлены вверх, т.к. .

Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы

;

.

Рис. 18

Рис. 19

Задача 5.7. С помощью выделения полного квадрата и переноса начала координат упростить уравнение линии и определить ее тип. Сделать рисунок.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) ; 2) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ;

3) ; 4) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) .

Пример 5.7

С помощью выделения полного квадрата и переноса начала координат упростить уравнение линии и определить ее тип:

.

Сделать рисунок.

Решение.

Для выделения полного квадрата сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

,

тогда,

,

откуда получим

,

поделим обе части уравнения на свободный коэффициент

.

Таким образом, данное уравнение является уравнением эллипса с центром в точке , где – большая полуось; – малая полуось.

Ответ: - эллипс (рис. 20).

Рис. 20