К каждому из пунктов а) – в) решения сделать рисунки в системе координат. На рисунках обозначить соответствующие пунктам задачи линии и точки

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) ; 2) ; 3) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ;

4) ; 5) ; 6) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 27) ; 28) ; 29) ; 30) .

Пример 5.1

Даны координаты вершин треугольника АВС:. Необходимо а) написать уравнения сторон треугольника; б) написать уравнение высоты треугольника проведенной из вершины С к стороне АВ и найти ее длину; в) написать уравнение медианы треугольника, проведенной из вершины В к стороне АС; г) найти длины сторон треугольника и определить его тип (разносторонний, равнобедренный, равносторонний); д) найти углы треугольника и установить его вид (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный); е) найти координаты центра тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС; ж) найти координаты ортоцентра (точка пересечения высот) треугольника АВС.

Решение

а) Для каждой стороны треугольника известны координаты двух точек, которые лежат на искомых линиях, значит уравнения сторон треугольника – уравнения прямых, проходящих через две заданные точки

,

(5.1)

где и соответствующие координаты точек.

Таким образом, подставляя в формулу (5.1) координаты соответствующих прямым точек получаем

, , ,

откуда после преобразований записываем уравнения сторон

, , .

На рис. 7 изобразим соответствующие сторонам треугольника прямые.

Ответ:

, , .

Рис. 7

б) Пусть – высота, проведенная из вершины к стороне . Поскольку проходит через точку перпендикулярно вектору , то составим уравнение прямой по следующей формуле

,

(5.2)

где – координаты вектора перпендикулярного искомой прямой, – координаты точки, принадлежащей этой прямой. Найдем координаты вектора, перпендикулярного прямой , и подставим в формулу (5.2)

, ,

,

,

.

Найдем длину высоты CH как расстояние от точки до прямой

,

(5.3)

где – уравнение прямой , – координаты точки .

В предыдущем пункте было найдено

.

Подставив данные в формулу (5.3), получим

,

На рис. 8 изобразим треугольник и найденную высоту СН.

Ответ: .

Рис. 8

в) медиана треугольника делит сторону на две равные части, т.е. точка является серединой отрезка . Исходя из этого, можно найти координаты точки

, ,

(5.4)

где и – координаты соответственно точек и , подставив которые в формулы (5.4), получим

; .

Уравнение медианы треугольника составим как уравнение прямой, проходящей через точки и по формуле (5.1)

,

.

Ответ: (рис. 9).

Рис. 9

г) Длины сторон треугольника найдем как длины соответствующих векторов, т.е.

, , .

Стороны и треугольника равны, значит, треугольник является равнобедренным с основанием .

Ответ: треугольник равнобедренный с основанием ;

, .

д) Углы треугольника найдем как углы между векторами, исходящими из соответствующих вершин данного треугольника, т.е.

, , .

Поскольку треугольник равнобедренный с основанием , то

,

Углы между векторами вычислим по формуле (4.4), для которой потребуются скалярные произведения векторов , .

Найдем координаты и модули векторов, необходимых для вычисления углов

, ;

, , .

Подставляя найденные данные в формулу (4.4), получим

,

,

Поскольку значения косинусов всех найденных углов положительны, то треугольник является остроугольным.

Ответ: треугольник остроугольный;

, , .

е) Пусть – центр тяжести треугольника , тогда координаты точки можно найти, по формулам (5.5)

, ,

(5.5)

где , и – координаты соответственно точек , и , следовательно,

, .

Ответ: – центр тяжести треугольника .

ж) Пусть – ортоцентр треугольника . Найдем координаты точки как координаты точки пересечения высот треугольника. Уравнение высоты было найдено в пункте б). Найдем уравнение высоты :

, ,

,

.

Поскольку , то решение системы

является координатами точки , откуда находим .

Ответ: – ортоцентр треугольника .

Задача 5.2. Фиксированные издержки на предприятии при выпуске некоторой продукции составляют F руб. в месяц, переменные издержки – V0 руб. за единицу продукции, при этом выручка составляет R0 руб. за единицу изготовленной продукции. Составить функцию прибыли P(q) (q – количество произведенной продукции); построить ее график и определить точку безубыточности.

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

Пример 5.2

Фиксированные издержки на предприятии при выпуске некоторой продукции составляют руб. в месяц, переменные издержки – руб. за единицу продукции, при этом выручка составляет руб. за единицу изготовленной продукции. Составить функцию прибыли P (q) (q – количество произведенной продукции); построить ее график и определить точку безубыточности.

Решение

Вычислим совокупные издержки на производстве при выпуске q единиц некоторой продукции

.

Если будет продано q единиц продукции, то совокупный доход составит

.

Исходя из полученных функций совокупного дохода и совокупных издержек, найдем функцию прибыли

,

,

.

Точка безубыточности – точка, в которой прибыль равна нулю, или точка, в которой совокупные издержки равны совокупному доходу

,

,

откуда находим

– точка безубыточности.

Для построения графика (рис. 10) функции прибыли найдем еще одну точку

.

Рис. 10

Ответ: функция прибыли , точка безубыточности .

Задача 5.3. Законы спроса и предложения на некоторый товар соответственно определяются уравнениями p = p_D (q), p = p_S (q), где p – цена на товар, q – количество товара. Предполагается, что спрос определяется только ценой товара на рынке p_С, а предложение – только ценой p_S, получаемой поставщиками. Необходимо

а) определить точку рыночного равновесия;

б) точку равновесия после введения налога, равного t. Определить увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж;

в) найти субсидию s, которая приведет к увеличению объема продаж на q ₀ ед. относительно изначального (определенного в пункте а));

г) найти новую точку равновесия и доход правительства при введении налога, пропорционального цене и равного N %;