Теплообмен 3 страница

(4.30)

разница между начальной температурой стенки и температурой окружающей среды.

Таким образом, температура поверхности стенки цилиндра определяется из соотношения (4.29)

, (4.31)

где – температура в центре пластины, цилиндра, шара.

Количество теплоты, которое отдаёт (или воспринимает) пластина за время τ, должно равняться изменению её внутренней энергии за период полного её охлаждения (нагревания).

Начальная внутренняя энергия пластины, отсчитанная от внутренней энергии при температуре среды, окружающей стенку, как от нуля, равна

(4.32)

При использовании безразмерных комплексов (критериев Bi и F₀) количество теплоты, выделившейся при охлаждении пластины, равно

(4.33)

или

(4.34)

где Q_τ – количество теплоты, переданное в окружающую среду за время τ;

t_cp.ст. – средняя температура стенки по истечении периода времени τ.

Зависимости (4.31), (4.32), (4.33) даются в виде таблиц или в виде графиков (рисунки 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8).

Порядок определения температуры на поверхности тела и в его центре.

Рассмотрим охлаждение плоскопараллельной пластины толщиной 2 δ (). Размер пластины в направлении осей O_y и O_z бесконечно велики. Пластина омывается с обеих сторон жидкостью или газом с постоянной температурой t_cp, причём коэффициент теплопередачи α, для обеих поверхностей имеет одинаковое и постоянное значение.

В начальный момент времени пластина имеет во всех своих точках постоянную температуру t₀, поэтому и избыточная температура v₁=t₀-t_cp будет также постоянной для всех точек тела. Кроме того, заданы коэффициент теплопроводности λ_ст, плотность тела ρ_ст и теплоёмкость его с_ст, величины которых полагаются постоянными.

Порядок определения температуры на поверхности тела и в центре его следующий.

1. Определяют критерий Bi и F₀ по формулам (4.28).

2. По специальным таблицам (табл. 4.3, 4.4, 4.5) определяют относительные (безразмерные) температуры и безразмерную теплоту Q_τ/Q₀.

3. Поскольку начальные значения t₁, t_cp и начальная теплота Q₀ известны, то по формулам 4.30, 4.31 и 4.33 определяют значения температур:

(4.35)

и величину тепла Q_τ.

Аналогично определяются температура t_ст, t_ц, Q_τ для бесконечного цилиндра и шара. Однако в качестве характерного размера в системе уравнений (4.28) принимается радиус цилиндра (шара), т.е.

и (4.36)

Безразмерные температуры и безразмерные величины тепла цилиндра и шара даны в табл. 4.6, 4.7, 4.8.

Пример 4.2. Определить температуру на поверхности и в центре равномерно нагретого до t₁=927°C длинного стального цилиндра диаметром d_ц равным 400 мм через 0,5 часа и через 1,0 час после помещения его на воздухе с температурой 27°C. Коэффициент теплоотдачи от стенки, цилиндра к воздуху α=50 Вт/м²∙К, коэффициент теплопроводимости стали λ_ст=50 Вт/м∙К, плотность стали ρ_ст=7900 кг/м³.

Решение

1. Определим температуры поверхности t_ст и центра t_ц, спустя 0,5 ч после пребывания цилиндра на воздухе:

а) коэффициент температуропроводимости

б) критерий Фурье

в) критерий Био

г) По табл. 4.7, 4.6 находим безразмерные температуры при известных критериях Био и Фурье

д) температура поверхности цилиндра определяется по формуле (4.35)

;

е) температура в центре цилиндра

;

ж) потери тепла цилиндра за 0,5 ч по табл. 4.8.

т.е. цилиндр потерял 13% от своей начальной внутренней энергии.

2. Определим температуры поверхности t_{с т} и центра t_ц спустя 1,0 ч после пребывания цилиндра на воздухе:

а) критерий Фурье

Критерий Био остаётся неизменным.

б) по значениям критериев Bi и F₀ из табл. 4.7 и 4.6 находим безразмерные температуры

в) температура поверхности цилиндра

г) температура в центре цилиндра

;

д) потери тепла цилиндра за 1 ч. по табл. 4.8

е) , т.е. цилиндр потерял 23% тепла от своей начальной внутренней энергии.

На основании расчётных данных можно построить поле распределения температур по времени и пространству, как показано на рис. 4.6.

Данная задача может быть решена с использованием графиков (номограмм). На рис. 4.4, 4.5, 4.6 представлены номограммы для определения температуры в телах (пластине, цилиндре, шаре).

Недостатком номограмм, как и таблиц, является то, что они пригодны только для определения температуры в центре тела и на его поверхности.

Рассмотрим задачу, взятую с исходными данными из примера 4.2.

1. При известных значениях критериев Bi=0,2 и F₀=0,4 (для τ=0,5 ч) из номограмм (рис. 4.4, 4.5) получается и .

2. Используя формулу 4.35, получим:

а) температуру на поверхности цилиндра

б) температура в центре цилиндра

.

3. При известных значениях критериев

Bi=0,2 и F₀=0,8 (τ=1,0 ч) из номограмм (рис. 4.4, 4.5) получаем

.

Следовательно,

;

Таким образом, с увеличением времени охлаждения температуры поверхности и центра цилиндра уменьшаются.

Для решения аналогичной задачи при отсутствии таблиц и монограмм используется характеристическое уравнение вида [7]

(4.37)

или по формулам, приведённым к таблице.

(при B_i<0,1; F₀≥0,3)

где

t – температура пластины на расстоянии к от средней плоскости в момент времени τ; считая от начала охлаждения (нагревания)

t₀ – начальная температура тела;

t_ж – постоянная температура жидкости (газа).

4.3 Конвективный теплообмен

4.3.1 Основные понятия теории конвективного теплообмена

Понятие конвективного теплообмена охватывает процесс теплообмена при движении жидкости или газа. При этом процесс переноса тепла осуществляется одновременно конвекцией и теплопроводностью.

Эксперименты и теоретические исследования показали, что конвективный теплообмен определяется многими факторами. Главными из них являются:

- характер и режим движения (вынужденное или свободное движение, ламинарный или турбулентный режим);

- скорость движения теплоносителя;

- физические свойства и состояние теплоносителя (газа или жидкости, передающих тепло стенкам сосудов или трубопроводов);

- форма, состояние и размеры поверхности твердого тела (стенки сосудов, труб);

- направление и величина теплового потока.

Решение задачи конвективного теплообмена сводится к определению теплового потока, идущего от теплоносителя в стенку и обратно.

При движении теплоносителя на поверхности стенки возникает пограничный слой, состоящий из двух частей:

а) турбулентной части пограничного слоя – переходной зоны от турбулентного течения к ламинарному;

б) ламинарного слоя (ламинарного подслоя).

В турбулентной части основное количество тепла переносится за счет тепловой конвекции, путем интенсификации перемешивания частиц.

В ламинарной части перенос тепла в направлении нормали к стенке осуществляется в основном теплопроводностью.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемой единицей поверхности тела окружающей среде в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т.е.

(4.23)

или - дифференциальное уравнение теплоотдачи.

Для определения теплового потока q необходимо знать температурный градиент _ст, что очень трудно осуществить.

Количество тепла, передаваемого стенке путем конвекции, определяется по формуле Ньютона – Рихмана

, (4.24)

где - толщина пограничного слоя;

- средняя температура в ядре потока газа (жидкости);

- средняя температура у стенки.

Обозначив - коэффициент теплоотдачи, формулу (4.24) можно выразить в виде

(4.25)

В инженерной практике часто используют уравнение Ньютона-Рихмана в виде

, (4.26)

где - площадь поверхности теплообмена, ;

- время, с.

Сложность расчета заключается в определении коэффициента . Коэффициент определяет интенсивность теплообмена между поверхностью стенки и окружающей средой и численно равен удельному тепловому потоку при температурном напоре, равном 1°С.

Коэффициент зависит от многих факторов, но при решении задач теплоотдачи его в большинстве случаев принимают величиной постоянной.

Для определения коэффициента используют теоретико-экспериментальный путь (метод).

4.3.2 Понятие о теории подобия

В исследовании теплообмена, как и в других науках, не все явления можно выразить аналитически, т.к. в большинстве случаев система дифференциальных уравнений, описывающая явление, включает неинтегрируемые дифференциальные уравнения. В этом случае большое значение приобретает эксперимент. Однако при экспериментах возникает необходимость создать модели для того, чтобы удешевить постановку опыта, упростить экспериментальную установку.

Исследование явлений на моделях называется моделированием. Научной базой метода моделирования является теория подобия в сочетании с методами теории размерностей.

Основной задачей моделирования является определение условий, обеспечивающих подобие явлений. Теория подобия указывает, как нужно провести эксперимент на модели, чтобы полученные в нем результаты можно было использовать при расчетах явлений, родственных изучаемому на натуре. Таким образом, теория подобия, по существу, является теорией организации и проведения эксперимента.

В основе теории подобия лежит понятие о подобных явлениях.

Различают геометрическое и физическое подобие. Обязательной предпосылкой подобия физических величин является геометрическое подобие.

Геометрическое подобие – это подобие геометрических фигур. Суть геометрического подобия заключается в том, что в геометрически подобных фигурах соответствующие углы равны и сходственные стороны пропорциональны (рис.4.13).

Б

а) натура Б¢ б) модель

А С А¢ С¢

Рис. 4.13 - Подобные фигуры

Иными словами, геометрическое подобие наблюдается между 2-мя фигурами: натура (АВС) и модель (А¢ B¢ С¢), где линейные размеры и , площади S_н и S_м и объемы W_н и W_м находятся в соотношениях

; ; (4.27)

где - линейный масштаб моделирования; значки «н» и «м» означают «натура» и «модель».

Физическое подобие – это подобие физических явлений. Например, подобие движения потока жидкости, подобие тепловых процессов и т.д.

В физически подобных явлениях однородные величины, имеющие одинаковый физический смысл и размерность, характеризующее явление, подобны. Они сопоставляются в сходственных точках пространства в сходственные моменты времени.

Сходственными точками пространства называются такие точки, координаты которых связаны отношениями геометрического подобия (4.27), а сходственными моментами времени называются такие моменты, которые имеют общее начало отчета и связаны условиями временного подобия.

В основе теории подобия лежат три теоремы.

1-я теорема подобия.

Подобные явления имеют одинаковые по величине критерия подобия. Таким образом, первая теорема подобия устанавливает связь между константами подобия и позволяет вывести уравнения для критериев подобия. Теорема указывает, что при выполнении опытов необходимо и достаточно измерять лишь те величины, которые входят в критерии подобия изучаемого явления.

Эта теорема была высказана еще И.Ньютоном в 1686г.

2-я – теорема подобия.

Любая зависимость между переменными, характеризующими явление, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия.

Эта теорема утверждает, что операция интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих явление, не изменяет вида критериев подобия. Например, уравнение скорости частицы жидкости v=dt/dt и уравнение после интегрирования, если за период времени t скорость сохраняет свое значение, дают возможность получить один и тот же критерий гомохронности (Н₀)

3-я теорема подобия. Необходимым и достаточным условием физического подобия является подобие условий однозначности при равенстве критериев, составленных из условий однозначности. Условиями однозначности являются:

- геометрическое подобие систем;

- одинаковость дифференциальных уравнений, описывающих данное явление.

- существование и единственность решения уравнений при заданных граничных условиях;

- известность численных значений коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение.

Совокупность всех перечисленных условий называется условиями однозначности явления.

Теория подобия дает общие методологические указания, как поступать в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих явление, устанавливает пути для правильной постановки опыта и дает указания по обработке полученных результатов.

Критериев подобия очень много и их можно получить для любого явления. Например:

а) Критерии подобия движения жидкости (газа) – критерий Эйлера, Е_u.

Запишем для двух подобных явлений уравнение движения газа в форме Эйлера:

; (4.28)

(4.29)

Выразим параметры первого явления через параметры второго. В этомслучае

; ; ; .

С учетом того, что коэффициенты подобия , , , и являются постоянными величинами, можно записать, подставив параметры (4.28) в выражение (4.29)

. (4.30)

Из условия (4.29) следует, что для выполнения (4.30) необходимо, чтобы

, (4.31)

откуда

(4.32)

или (4.33)

Очевидно, что на основе выражения (4.32) можно сделать вывод о том, что в двух подобных явлениях комплекс параметров , один и тот же, что соответствует выражению (4.33).(«idem» - означает одно и то же).

Подобные безразмерные комплексы называют критериями подобия. Их называют, как правило, именами выдающихся ученых. Так, критерий - критерий Эйлера. Он характеризует соотношение между силами инерции и давлением газа.

Гидродинамические условия движения потока, соотношение сил инерции и сил трения характеризуются критерием Рейнольдса вида

,

где - коэффициент динамической вязкости, ;

- скорость потока;

- коэффициент кинематической вязкости, .

б) Критерии теплового подобия

Тепловое подобие – это подобие температурных полей и тепловых потоков.

В технике широкое распространение получил метод теплового подобия. Благодаря применению этого метода расчет теплообмена в некоторых конкретных условиях значительно упрощается в связи с возможностью использовать для расчета экспериментальных зависимостей, полученных в других условиях. Для этого необходимо соблюдать равенство соответствующих критериев в данных условиях и в условиях эксперимента.

Конвективный теплообмен характеризуется пятью критериями подобия:

1. Критерий Нуссельта Nu

(4.33)

где - характерный линейный размер;

- коэффициент теплоотдачи;

- теплопроводность теплоносителя.

Критерий Нуссельта представляет собой безразмерный критерий теплоотдачи, характеризующий условия теплообмена на границе между стенкой и газом, т.е. характеризует интенсивность теплообмена.

2. Критерий Рейнольдса Re

; (4.34)

характеризует соотношение, сил инерции и сил вязкости в потоке (или сил трения)

3. Критерий Пекле Pe

? (4.35)

где - скорость потока;

- коэффициент кинематической вязкости;

- характерный размер;

– физический параметр или коэффициент температуропроводности, который характеризует скорость изменения температуры.

,

где с_p - удельная изобарная теплоемкость теплоносителя;

Если в критерий Пекле вместо коэффициента подставить его значение и помножить числитель и знаменатель на избыточную температуру , т.е

, (4.36)

числитель критерия - характеризует теплоту, переносимуюконвекцией, а знаменатель - теплоту, переносимую теплопроводностью. Таким образом, чем больше величина критерия Pе, тем большая доля тепла, переносимая в теплоносителе за счет конвекции по сравнению с долей тепла, переносимой теплопроводностью.

4. Критерий Прандтля P_r

; или (4.37)

Критерий Прандтля характеризует физические свойства теплоносителя.

Для жидкостей критерий P_r сильно зависит от температуры (Pr=1...2500).

Для газов критерий Pr не зависит от температуры (P=0,67...1,0).

5. Критерий Фурье (F₀)

(4.38)

где - время;

- характерный параметр (например, толщина стенки );

Критерий Фурье характеризует подобие конвективного теплообмена при нестационарных процессах (в него входит время ).

С учетом выше изложенных теорем подобия, рассмотрим исследуемое явление, которое характеризуется n – критериями подобия, полученными из уравнения, описывающее явление и условия однозначности: К_1, К_2, К₃...К_n.

Если в критерий К₁ входит интересующий нас параметр, то согласно 2 - ой теоремы подобия можно записать

/ (4.39)

Такое уравнение называют критериальным.

В явном виде критериальное уравнение записывается в виде произведения критериев в некоторой степени.

(4.40)

где А – коэффициент пропорциональности;

a, b... m – показатели степени, определяемые опытным путем.

Так для расчета конвективного теплообмена используется зависимость вида