Решение. 1. Для решения задачи с использованием интеграла Дюамеля необходимо предварительно определить переходную характеристику (в данном случае – переходное

1. Для решения задачи с использованием интеграла Дюамеля необходимо предварительно определить переходную характеристику (в данном случае – переходное сопротивление), которая по определению является реакцией цепи на единичное скачкообразное воздействие (функцию Хевисайда), операторное изображение которой 1/ р. Другими словами, переходная характеристика численно равна выходной величине при включении цепи на единичную входную величину (в данном случае на 1 А). Определим эту переходную характеристику, используя операторное передаточное сопротивление, полученное из комплексного передаточного сопротивления заменой jw на р, путём преобразований Лапласа, которые сделаем с помощью программы MathCAD. В задаче 7.79 получено:

Z(р) = = .

Тогда изображение выходного напряжения u 2 (р):= Z(р) · .

Искомая переходная характеристика

g(t):= u 2 (р) 1250. – 1250.· e ^{( -66.67 )· t}

Импульс входного тока аналитически описывается двумя формулами:

- на интервале 0 £ t £ t ₁ = 0,01 с j 1 (t):= 0.01 + 4· t;

- на интервале t ₁£ t j 2 (t):= 0.

Искомое напряжение при 0 £ t £ t ₁ = 0,01 с:

u 21 (t):= j 1 ( 0 ) · g(t) +

u 21 (t) 5000.· t – 75.00 + 75.00· e ^{( -66.67 )·t} .

При t ³ t ₁ u 22 (t):= j 1 ( 0 ) · g(t) + + ( 0 – j 1 (t 1 )) · g(t – t 1 )

u 22 (t) (-12.50) – 12.50· e ^{( -66.67 )· t +.6667} + 75.00· e ^{( -66.67 )· t}.

Ответ записываем в следующем виде: u 2 (t):= 0 if t < 0

u 21 (t) if 0 £ t £ t 1

u 22 (t) otherwise

Таким образом, имеем следующий ответ:

u ₂ (t) =

График напряжения построен на рис. 7.117,б.

2. Выполним расчёт операторным методом.

Аналитическое выражение тока источника, записанное с использованием функции Хевисайда Ф(t):

j(t):= ( 0.01 + 4· t) · (Ф(t) – Ф(t – t 1 )).

Изображение тока источника:

J(s):= j(t) –.5000 e -1· + – 4.· .

Изображение выходного напряжения: u 2 (р):= Z(р) · J(р).

Оригинал выходного напряжения:

u 2 (t):= u 2 (р) 62.50· e ^{( -66.67 )· t} – 62.50 – 12.50· Ф(t –.1000 е -1 ) ·

· e ^{( -66.67 )· t +.6667} + 62.50· Ф(t –.1000 е -1 ) + 5000.· t – 5000.· t · Ф(t –.1000 е -1 ).

График напряжения, построенный по последней формуле, приведен на рис. 7.117,б.

3. Выполним расчёт спектральным методом.

Оригинал и изображение тока источника:

j(t):= ( 0.01 + 4· t) · (Ф(t) – Ф(t – t 1 ))

J(s):= j(t) –.5000 e -1· + – 4.· .

Спектральная плотность тока источника:

J(w):= –.5000 e -1· + – 4.· .

Спектральная плотность выходного напряжения находится через комплексное передаточное сопротивление: u 2 (w):= Z(w) · J(w), где комплекс-ное передаточное сопротивление Z(w):= .

С помощью системы MathCAD выполняем вычисление интеграла обратного преобразования Фурье: u 2 (t):= · .

Вместо бесконечных пределов возьмём достаточно большие конечные, например, 60000: u 2 (t):= · .

Для любого значения времени можно получить ответ. Например,

u 2 ( 0.005 ) = 7.283 u 2 ( 0.01 ) = 19.566 u 2 ( 0.05 ) = 1.361.

Сравните полученные ответы с графиком рис. 7.117,б.

ЗАДАЧА 7.82. Рассчитать напряжение u ₂ (t) переходного процесса при подключении цепи задачи 5.43 /1/ к источнику постоянного тока J = 0,05 A операторным методом. Формула для комплексного передаточного сопротивления, полученная при решении задачи 5.43:

Z (jw) = Ом.