Решение. а). Воспользуемся прямым преобразованием Фурье:

а). Воспользуемся прямым преобразованием Фурье:

F(jw) = = = е ^-jwt =

= (е^{-jw ·0,001} – е^{+jw ·0,001} ) = · ( - j 2 sin( 0,001 w)) = sin( 0,001 w).

б). Так как функция f(t) равна нулю при t < 0, то можно воспользоваться таблицами преобразования Лапласа. Разложим заданный прямоугольный импульс на две ступенчатые составляющие с амплитудами 5 и -5, причём вторая составляющая запаздывает на 10 мс. Их изображения (по Лапласу):

и - е ^{-р ·0,01}.

Изображение заданного импульса F(р) = – е ^{-р ·0,01} = (1 – е ^{-р ·0,01}).

Спектральную плотность получим, если в ответе заменим р на jw:

F(jw) = (1 – е ^{- j w ·0,01}).

в). Воспользуемся преобразованиями Лапласа, но выполним их с помощью системы MathCAD. Исходная функция, записанная одной формулой с помощью функции Хевисайда 1 (t) = Ф(t):

f(t):= ( 100 t ² + 1 ) · (Ф(t) – Ф(t – 0,1 )) + ( -10 t + 4 ) · (Ф(t – 0,1 ) – Ф(t – 0,5 )).

Изображение функции:

f(t) ® + – 30.· –

– 200.· + + + 10.·

или F(р) = ( 1 + е ^{-0,1 р} + е ^{-0,5 р} ) + ( -3 е ^{-0,1 р} + е ^{-0,5 р} ) + ( 1 – е ^{-0,1 р} ).

Искомая спектральная плотность

F(jw) = ( 1 + е ^{-0,1 jw} + е ^{-0,5 jw}) + ( -3 е ^{-0,1 jw} + е ^{-0,5 jw}) + ( 1 – е ^{-0,1 jw}).

Графики функций и их спектры представлены на рис. 7.106.

ЗАДАЧА 7.77. Определить комплексную передаточную функцию, построить её АЧХ и ФЧХ для цепей рис. 7.107 при следующих числовых значениях: r ₁ = 100 Ом, r ₂ =200 Ом, С = 10 мкФ, L ₁= 0,1 Гн, L ₂= 0,02 Гн, М = 0,9 = 0,04 Гн. Под каждым рисунком указано, какая величина счи-
тается входной, какая – выходной.