Решение. 1. Состояние цепи до коммутации: i1(t-) = i2(t-) = 0, uC(t-) = U = 50 В

1. Состояние цепи до коммутации: i ₁ (t_-) = i ₂ (t_-) = 0, u_C(t_-) = U = 50 В. В соответствии со вторым законом коммутации независимое начальное усло-

вие – u_C( 0₊ ) = u_C( 0_- ) = 50 В.

2. Согласно классическому методу искомые переходные токи записываются в виде суммы принуждённых и свободных составляющих:

i ₁ = i _{1 пр} + i _{1 св}, i ₂ = i _{2 пр} + i _{2 св}, i ₃ = i _{3 пр} + i _{3 св}.

3. Рассчитываем принуждённые составляющие токов:

i _{2 пр} = 0; i _{1 пр} = i _{3 пр} = = = 0,25 А.

3. Характеристическое уравнение составим, используя входное сопротивление в операторной форме (см. 7.1.1, второй способ составления характеристического уравнения): Z(p) = + r ₂ + = 0.

Корень характеристического уравнения:

p = - = - = -100 с ^–1.

4. Свободные составляющие токов при одном корне характеристиче-ского уравнения: i _{1 св} = А × е ^рt, i _{2 св} = В × е ^рt, i _{3 св} = D × е ^рt.

5. Постоянные интегрирования А, В, D находятся с использованием начальных условий, которые, однако, можно получить разными способами. Рассмотрим некоторые из них.

а) первый способ. Составляется система уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного режима для начального момента времени: i ₁ ( 0 ) – i ₂ ( 0 ) – i ₃ ( 0 ) = 0,

i ₁ ( 0 ) × r ₁ + i ₂ ( 0 ) × r ₂ + u_C( 0 ) = U,

i ₁ ( 0 ) × r ₁ + i ₃ ( 0 ) × r ₃ = U.

С числовыми значениями: i ₁ ( 0 ) – i ₂ ( 0 ) – i ₃ ( 0 ) = 0,

i ₁ ( 0 ) ×100 + i ₂ ( 0 ) ×50 + 50= 50,

i ₁ ( 0 ) ×100 + i ₃ ( 0 ) ×100 = 50.

Решение системы: i ₁ ( 0 ) = 0,125 А, i ₂ ( 0 ) = -0,25 А, i ₃ ( 0 ) = 0,375 А.

Постоянные интегрирования:

А = i _{1 св}( 0 ) = i ₁ ( 0 ) – i _{1 пр} = 0,125 – 0,25 = -0,125;

В = i _{2 св}( 0 ) = i ₂ ( 0 ) – i _{2 пр} = -0,25 – 0 = -0,25;

D = i _{3 св} ( 0 ) = i ₃ ( 0 ) – i _{3 пр} = 0,375 – 0,25 = 0,125.

б) второй способ. Расчёт выполняется по эквивалентной схеме, составленной на начальный момент времени. Здесь используется следствие из законов коммутации: индуктивность в момент коммутации ведёт себя как источник тока с током i_L( 0 ), ёмкость – как источник ЭДС с напряжением u_C( 0 ). Для начального момента времени, таким образом, получаем схему рис. 7.25,а. Учитывая, что в цепи оказались два одинаковых источника u_C( 0 ) = U, можем утверждать, что потенциалы точек а и b одинаковы, и точки можно соединить перемычкой. Получаем схему рис. 7.25,б, из которой находим начальные значения токов: i ₃ ( 0 ) = = = 0,375 А,

i ₁ ( 0 ) = i ₃ ( 0 ) × = 0,375× = 0,125 А,

i ₂ ( 0 ) = i ₁ ( 0 ) – i ₃ ( 0 ) = 0,125 – 0,375 = -0,25 А.

Далее постоянные интегрирования определяются как в первом способе.

в) третий способ. Расчёт выполняется по эквивалентной схеме для начального момента времени только для свободных составляющих (рис. 7.25,в). Определим необходимое начальное значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе. Значение принуждённой составляющей: u_Cпр = i _{3 пр} × r ₃ = 0,25×100 = 25 В.

u_Cсв( 0 ) = u_C( 0 ) – u_Cпр = 50 – 25 = 25 В.

Постоянные интегрирования: В = = = -0,25;

А = В × = -0,25× = -0,125,

D =- В × = 0,25× = 0,125.

6. Записываем окончательные выражения для токов:

i ₁ (t) = 0,25 – 0,125× е ^{–100 t} A; i ₂ (t) = -0,25× е ^{–100 t} A; i ₃ (t) = 0,25 + 0,125× е ^{–100 t} A.

7. Для построения графика i ₁ (t) вычислим:

- постоянная времени цепи t = 1/| p | = 1/100 c = 10 мс,

- практическая длительность переходного процесса Т_пп = (3¸5) t = 4× t = 40 мс.

График представлен на рис. 7.26.

ЗАДАЧА 7.11. В схеме рис. 7.27 рассчитать токи переходного процесса. Параметры цепи: U = 60 В, r ₁ = 9 Ом,

r ₂ = r ₃ = 30 Ом, r = 10 Ом, L = 0,4 Гн.

Ответы: i ₁ (t) = 2,5 – 0,346× е ^{–92,3 t} A;

i ₂ (t) = 1,25 – 0,450× е ^{–92,3 t} A;

i ₃ (t) = 1,25 + 0,104× е ^{–92,3 t} A.

ЗАДАЧА 7.12. В схеме рис. 7.28 рассчитать токи переходного процесса. Параметры цепи:

U = 300 В, r ₁ = r ₂ = r ₃ = 100 Ом, L = 0,5 Гн.

Ответы: i ₁ (t) = 3 – е ^{–100 t} A;

i ₂ (t) = е ^{–100 t} A;

i ₃ (t) = 3 – 2× е ^{–100 t} A.

ЗАДАЧА 7.13. В схеме рис. 7.29 рассчитать напряжение на конденсаторе и токи переходного процесса. Параметры цепи: U = 100 В, r ₁ = 50 Ом, r ₂ = r ₃ = 100 Ом, С = 60 мкФ.

Ответы: u_С(t) = 66,67 + 33,33× е ^{–125 t} В;

i ₁ (t) = 0,667 – 0,167× е ^{–125 t} A; i ₂ (t) = -0,250× е ^{–125 t} A; i ₃ (t) = 0,667 + 0,083× е ^{–125 t} A.

ЗАДАЧА 7.14. Решить задачу 7.13 со следующими числовыми данными: U = 200 В, r ₁ = r ₃ = 20 Ом, r ₂ = 10 Ом, С = 50 мкФ.

Ответы: u_С(t) = 100 + 100× е ^{–1000 t} В;

i ₁ (t) = 5 – 2,5× е ^{–1000 t} A; i ₂ (t) = -5× е ^{–1000 t} A; i ₃ (t) = 5 + 2,5× е ^{–1000 t} A.

ЗАДАЧА 7.15. В схеме рис. 7.30,а рассчитать токи переходного про-цесса классическим методом. Параметры цепи: u(t) = 100× sin( 100 t + 30° ) В, r ₁ = 173 Ом, r ₂ = 100 Ом, С = 100 мкФ.