Решение. 1. Независимые начальные условие нулевые:

1. Независимые начальные условие нулевые:

u_C (0₊) = u_C (0_-) = 0; i_L (0₊) = i_L (0_-) = 0.

2. Принуждённые составляющие токов:

i_Спр = 0, i_Lпр = i_{r пр} = = = 1 А.

3. Характеристическое уравнение:

+ = 0 или LrС × р ² + L × р + r = 0.

Корни характеристического уравнения:

р _1,2 = = = с ^–1,

р ₁ = -1250 с ^–1, р ₂ = -5000 с ^–1.

4. Вид свободных составляющих:

i_Lсв(t) = А ₁× е ^{р 1× t} + А ₂× е ^{р 2× t}, i_{r св}(t) = В ₁× е ^{р 1× t} + В ₂× е ^{р 2× t}, i_Ссв(t) = D ₁× е ^{р 1× t} + D ₂× е ^{р 2× t}.

Начальные условия для свободных составляющих:

i_Lсв( 0 ) = А ₁ + А ₂, i_{r св}( 0 ) = В ₁ + В ₂, i_Ссв( 0 ) = D ₁ + D ₂,

i_Lсв ¢ ( 0 ) = р ₁× А ₁ + р ₂× А ₂; i_{r св} ¢ ( 0 ) = р ₁× В ₁ + р ₂× В ₂; i_Ссв ¢ ( 0 ) = р ₁× D ₁ + р ₂× D ₂.

5. Для определения постоянных интегрирования рассчитаем начальные условия. С этой целью составим систему уравнений по законам Кирхгофа для нулевого момента времени, причём учтём уравнение связи между током и напряжением на конденсаторе: i_L( 0 ) – i_С( 0 ) – i_r( 0 ) = 0,

L × i_L ¢ ( 0 ) + u_C( 0 ) = U,

u_C( 0 ) – i_r( 0 ) × r = 0,

i_С( 0 ) = С × u_C ¢ ( 0 ).

Отсюда начальные значения токов:

i_r( 0 ) = u_C( 0 ) / r = 0; i_С( 0 ) = i_L( 0 ) – i_r( 0 ) = 0.

Начальные значения производных: u_C ¢ ( 0 ) = i_С( 0 ) / С = 0;

i_r ¢ ( 0 ) = u_C ¢ ( 0 ) / r = 0; i_L ¢ ( 0 ) = (U – u_C( 0 ))/L = 100/0,1 = 1000 А / с;

i_С ¢ ( 0 ) = i_L ¢ ( 0 ) – i_r ¢ ( 0 ) = 1000 А / с.

Начальные условия для свободных составляющих:

i_Lсв( 0 ) = i_L( 0 ) – i_Lпр( 0 ) =0 – 1= -1 А, i_Lсв ¢ ( 0 ) = i_L ¢ ( 0 ) – i_Lпр ¢ ( 0 ) =1000 – 0 =1000 А / с,

i_{r св}( 0 ) = i_r( 0 ) – i_{r пр}( 0 ) = 0 – 1 = -1 А, i_{r св} ¢ ( 0 ) = i_r ¢ ( 0 ) – i_{r пр} ¢ ( 0 ) = 0,

i_Ссв( 0 ) = i_С( 0 ) – i_Спр( 0 ) = 0, i_Ссв ¢ ( 0 ) = i_С ¢ ( 0 ) – i_Спр ¢ ( 0 ) = 1000 – 0 = 1000 А / с.

Таким образом, получаем и решаем следующие три системы уравнений:

А ₁ + А ₂ = -1, А ₂ = -1 – А ₁ = -1 + 1,065 = 0,065,

р ₁× А ₁ + р ₂× А ₂ = 1000; А ₁ = = = -1,065.

В ₁ + В ₂ = -1, В ₂ = -1 – В ₁ = -1 + 1,33 = 0,33,

р ₁× В ₁ + р ₂× В ₂ = 0; В ₁ = = = -1,33.

D ₁ + D ₂ = 0, D ₂ = - D ₁ = -0,266,

р ₁× D ₁ + р ₂× D ₂ = 0; D ₁ = = = 0,266.

6. Записываем окончательные выраже-ния для токов в соответствии с классическим методом расчёта:

i_L(t) = i_Lпр(t) + i_Lсв(t) =

= 1 – 1,065× е ^{–1250 t} + 0,065× е ^{–5000 t} А,

i_r(t) = i_{r пр}(t) + i_{r св}(t) =

= 1 – 1,33× е ^{–1250 t} + 0,33× е ^{–5000 t} А,

i_С(t) = i_Спр(t) + i_Ссв(t) =

= 0,266× е ^{–1250 t} – 0,266× е ^{–5000 t} А.

7. Построим график тока i_r(t) (рис. 7.41). Длительность переходного процесса с учётом | p ₂| > | p ₁| T_ПП = = с = 3,2 мс.

ЗАДАЧА 7.24. В схеме рис. 7.42 рассчитать токи переходного процесса классическим методом. Параметры цепи:

U = 100 В, r = 50 Ом, L = 0,2 Гн,

С = 40 мкФ. Построить график тока i ₁ (t).