Решение. 1. Независимое начальное условие нулевое – i(0+) = i(0-) = 0

1. Независимое начальное условие нулевое – i( 0₊ ) = i( 0_- ) = 0.

2. Расчёт тока выполним классическим методом. Принуждённая составляющая имеет вид: i_пр(t) = i_m × sin( 314 t + Y_i) = × sin( 314 t + Y_u – j).

Здесь Z = = = = 53,9 Ом,

j = arctg = arctg = 68,1°, i_m = = = 1,86 A.

Таким образом, i_пр(t) = 1,86× sin( 314 t + Y _u – 68,1° ) A.

Начальное значение принуждённой составляющей тока

i_пр( 0 ) = 1,86× sin(Y_u – 68,1° ) A.

3. Характеристическое уравнение и его корень:

pL + r = 0, p = - r/L = 20/0,159 = -125,8 c ^–1.

Постоянная времени цепи и практическая длительность переходного процесса: t = 1/| p | =1/125,8 = 0,008 c, T_пп = (3¸5) t = (24¸40) мс.

Период колебаний принуждённой составляющей T = = 20 мс.

4. При одном корне характеристического уравнения свободная составляющая имеет вид: i_св(t) = А × е ^{р t}.

Значение постоянной интегрирования

А = i_св( 0 ) = i( 0 ) – i_пр( 0 ) = -1,86× sin(Y_u – 68,1° ).

5. Самый «тяжёлый» переходный процесс (наибольшее значение сво-бодной составляющей) получится при Y_u – 68,1° = ±90°. То есть Y_u = 158,1° или Y_u = -21,9°.

Самый «лёгкий» (свободная составляющая отсутствует) – при

Y_u – 68,1° = 0° или ±180°. То есть Y_u = 68,1° или Y_u = -111,9°.

Если Y_u – 68,1° = 90°, то Y_u = 158,1°. Мгновенное значение переходно-го тока в этом случае записывается как

i(t) = i_пр(t) + i_св(t) = 1,86× sin( 314 t + 90° ) – 1,86× е ^{-125,8 t} А.

6. График тока и его составляющих представлен на рис. 7.8,б.

7. Ударным током называется максимальное значение переходного тока.

Как видно из графика, наибольшего по величине значения i_уд = 2,4 А ток достигает в момент времени t = 9,7 мс.

Задача 7.5. Рассчитать ток переходного процесса при включении катушки на синусоидальное напряжение

u(t) = U_m · sin(wt + y_u) (рис. 7.9), если

u_m = 200 В, w = 1000 рад / с, y_u = -30°, r_к = 10 Ом, L = 25 мГн.

Построить график i(t).

Ответ: i(t) = 7,43 sin( 1000 t – 98,2° ) + 7,35 е ^{-400 t} A;

график i(t) на рис. 7.10.

Задача 7.6. Рассчитать ток переходного процесса и напряжение на ёмкости (рис. 7.11), если u = 200 В, r = 100 Ом, C = 100 мкФ.

Построить графики i(t), u_С(t).

Комментарии и ответы.

1. Независимое начальное условие: u_С( 0₊ ) = u_С( 0_- ) = 0.

2. Расчёт принуждённого режима по схеме рис. 7.12:

i_пр = 0; u_Спр = u = 200 В.

3. Характеристическое уравнение и его корень:

r + = 0, р = - = -100 с ^-1.

4. Свободные составляющие: i_св(t) = Ае^pt; u_Ссв(t) = Bе^pt.

5. Начальные условия: u_Ссв (0₊) = u_С (0₊) – u_Спр = -200 B.

i_св (0₊) = - = 2 А.

6. Постоянные интегрирования А = i_св( 0₊ ) = 2; B = u_Ссв( 0₊ ) = -200.

7. Полные величины: i(t) = 2 е ^{-100 t} А; u_С(t) = 200 – 200 е ^{-100 t} B.

8. Постоянная времени цепи и практическая длительность ПП

t = = 0,01 с; Т_ПП = 0,04 с.

Графики i(t), u_C(t) на рис. 7.13.

ЗАДАЧА 7.7. Определить ток и напряжение на ёмкости при переключении на добавочное сопротивление r_д (рис. 7.14), если

u = 200 В, r = 100 Ом, С = 100 мкФ, r_д = 400 Ом.

Построить графики i(t), u_С(t).

Комментарии и ответы.

1. Независимое начальное условие:

u_С( 0₊ ) = u_С( 0_- ) = u = 200 В.

2. Принуждённые составляющие: i_пр = 0; u_Спр = 0.

3. Характеристическое уравнение и его корень:

(r_д + r) + = 0, р = - = -20 с ^-1.

4. Свободные составляющие: i_св = Ае^pt; u_Ссв = Bе^pt.

5. Начальные условия: u_Ссв (0₊) = u_С (0₊) – u_Спр = 200 B;

i_св (0₊) = - = -0,4 А.

6. Постоянные интегрирования А = i_св( 0₊ ) = -0,4; B = u_Ссв( 0₊ ) = 200.

7. Полные величины: i(t) = -0,4 е ^{-20 t} А, u_С(t) = 200 е ^{-20 t} B.

8. Постоянная времени цепи и практическая длительность ПП

t = = 0,05 с, Т_ПП = 4 t = 0,2 с.

Графики i(t), u_C(t) на рис. 7.15.

ЗАДАЧА 7.8. Определить ток i(t) и напряже-ние на конденсаторе u_С(t) (рис. 7.16), если

r = 100 Ом, С = 10 мкФ, E ₀ = 300 В,

e(t) = 100 sin( 1000 t – 90° ) В.

Построить график i(t).