Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа

Пусть L_n и L_m – линейные пространства над полем Р и j: L_n ® L_m линейный оператор. Зафиксируем в L_n и L_m базисы е = (е ₁, е₂, …, е_n) и f = (f₁, f₂, …, f_m) соответственно. Если j (е) = (j (е₁), j (е₂), …, j (е_n)), то все векторы j (е_к) Î L_m. Выразим их через базис f.

(31)

Матрица А =

называется матрицей оператора j в паре базисов е и f.

Формулы (31) можно записать в матричном виде: j (е) = f ×А (32)

Пусть а – произвольный вектор из L_n и j (а) – его образ в L_m. Пусть х – столбец координат этого вектора в базисе е и х¹ – столбец координат вектора j (а) в базисе f. Тогда а = е × х, j (а) = j (е) × х, j (а) = f×х¹. Следовательно, j (е) × х = f×х¹. Используя (32), получим (f ×А)× х = f×х¹, или f ×(А × х) = f×х¹. Отсюда х¹ = А × х (33).

Следствие. Если в линейных пространствах L_n и L_m зафиксированы базисы, то каждому линейному оператору, действующему из L_n в L_m соответствует единственная матрица размерности m´n с элементами из поля Р.

Теорема 34. Если в линейных пространствах L_n и L_m зафиксированы базисы, то каждая матрица размерности m´n с элементами из поля Р является матрицей одного и только одного линейного оператора, действующего из L_n в L_m.

Доказательство. Пусть дана матрица А = с элементами из поля Р и пусть L_n и L_m – линейные пространства над полем Р. Зафиксируем в L_n и L_m базисы е = (е ₁, е₂, …, е_n) и f = (f₁, f₂, …, f_m) соответственно. В пространстве L_m зададим векторы а₁ = (a₁₁, a₂₁, …, a_m1), а₂ = (a₁₂, a₂₂, …, a_m2), …, а_n (a_1n, a_2n,…, a_mn). Если искомый линейный оператор существует, то должно быть j (е_к) = а_к для любого к = 1, 2, …, n. По теореме 31 такой оператор существует и только один.

Следствие. Между множеством линейных операторов, действующих из L_n в L_m, и множеством матриц размерности m´n с элементами из поля Р устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Если в L_n и L_m зафиксированы базисы е = (е ₁, е₂, …, е_n) и f = (f₁, f₂, …, f_m), то при сложении линейных операторов складываются соответствующие им матрицы. Если линейный оператор умножить на элемент поля Р, то на этот элемент умножится и соответствующая матрица.

Следствие. Линейное пространство линейных операторов, действующих из L_n в L_m, изоморфно линейному пространству матриц размерности m´n с элементами из поля Р.

Следствие. Размерность линейного пространства линейных операторов, действующих из L_n в L_m, равна m×n.