Линейные преобразования линейного пространства

Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразований, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.

1. Если в пространстве L_n зафиксирован базис е = (е ₁, е₂, …, е_n), то матрица А линейного преобразования j: L_n ® L_n имеет вид

А = , столбцы которой – координаты образов базисных векторов е.

(35)

2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид j (е) = е ×А.

3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х¹ = А × х (36)

4. Если в пространстве L_n зафиксированы два базиса е = (е ₁, е₂, …, е_n) и е¹ = (е ₁¹, е₂¹, …, е_n¹) и Т – матрица перехода от е к е¹, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А¹ = Т ^-1×А×Т (37).

Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С^–1×А×С.

5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.

6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над полем Р и любого линейного пространства L_n над полем Р в L_n существуют такие базисы е и е¹, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.

Доказательство. Пусть В = С^–1×А×С. Зафиксируем в L_n какой-нибудь базис. Матрица А в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это j). Так как матрица С невырожденная, то С^–1 может быть матрицей перехода. Пусть е¹ = е ×С^–1. Тогда преобразование j в базисе е¹ будет иметь матрицу С^–1×А× (С^–1)^–1 = С^–1×А×С = В.

7. dim (j (L_n)) + dim (Kerj) = n.

8. Множество всех линейных преобразований пространства L_n есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство L_n.

Определение 37. Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства L_n называется линейным пространством, сопряжённым пространству L_n.