Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений

Пусть (25) произвольная система линейных неоднородных уравнений с коэффициентами из поля Р. Если в этой системе все свободные члены заменить нулями, то полученная система линейных однородных уравнений называется соответствующей однородной системой (это система (30)). Решения систем (25) и (30) удовлетворяют следующим свойствам:

(30)	10. Сумма решений данной неоднородной и соответствующей однородной системы линейных уравнений есть решение данной неоднородной системы. Пусть а – частное решение системы (25) и с – частное решение системы (30). Рассмотрим вектор (а + с).

Системы (25) и (30) в векторной форме имеют вид А× х = в (31) и А× х = 0 (32). По условию А× а = в, А× с = 0. Следовательно, А× (а + с) = А× а + А× с = в + 0 = в. Следовательно, (а + с) – решение уравнения (31), а поэтому и системы (25).

2⁰. Разность двух решений неоднородной системы линейных уравнений есть решение соответствующей однородной системы.

Пусть а и с – решения системы (25), а следовательно, и уравнения (31), т.е. А× а = в и А× с = в. Тогда А× (а – с) = А× а – А× с = в – в = 0, т.е. (а – с) – решение уравнения (32), а поэтому и системы (30).

3⁰. Если а – фиксированное частное решение системы (25), а с пробегает все решения системы (30), то (а + с) пробегает все решения системы (25).

Согласно 1⁰, при любом с вектор (а + с) будет решением системы (25). Если d – любое решение системы (25), то, согласно 2⁰, разность (d – а) будет решением системы (30). Обозначив (d – а) = с, получим d = (а + с).

Теорема 29. Если а – частное решение линейной неоднородной системы уравнений и а₁, а₂, …, а_n–r – фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений, то общее решение данной неоднородной системы имеет вид

d = а + С₁ а₁ + С₂ а₂ + … + С_n–r а_n–r, где С₁, С₂, …, С_n–r – любые элементы поля Р.

(Иными словами, общее решение системы линейных неоднородных уравнений равно сумме частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы.)

Доказательство является следствием предыдущих свойств.