Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром

Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства L_n над полем Р имеет в базисе е = (е₁, е₂,..., е_n) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования j.

Доказательство. Þ Пусть матрица А линейного преобразования j в базисе е – диагональная. Тогда j (е_к) = l_к е_к для любого к = 1, 2, …, n. Но это значит, что все базисные векторы – собственные..

Ü Пусть все базисные векторы – собственные. Тогда j (е_к) = l_к е_к. Следовательно, в к -ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к -го, стоят нули и а_кк = l_к. Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.

Следствие. Квадратная матрица n -го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис из собственных векторов.

Определение 42. Говорят, что линейное преобразование j линейного пространства L_n над полем Р имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат полю Р.

Теорема 40. Если линейное преобразование j линейного пространства L_n над полем Р имеет простой спектр, то в L_n существует такой базис, в котором это преобразование имеет диагональную матрицу.

Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р. Если все характеристические корни матрицы А различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна диагональной.