Основные теоремы и формулы теории вероятности

1.Вероятности наступления одного из двух несовместимых событий (например, A или B) равна сумме их вероятностей:

P(A+B) = P(A) + P(B)

2. Для любого события А имеем

Р()=1 – Р(А)

3. Сумма вероятностей событий А₁, А₂,…, А_n, образующих полную группу равна 1

Условной вероятностью Р _А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило

4. Вероятность совместного появления событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

P(A×B) =P(A)× Р_А(В)

5. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, …,В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого события на соответствующую условную вероятность.

P(A) =P(В₁)× Р_В1 (А)+ … + P(В_n)× Р_Вn (А) – формула полной вероятности

Задача. Имеется три одинаковых ящика. В первом ящике 8 белых, 4 черных шаров, во втором – 7 белых и 5 черных, в третьем 6 белых и шесть черных. Какова вероятность того, что, выбрав наудачу один из ящиков, случайно извлечем из него белый шар?

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что взятый шар будет белым. Здесь возможны гипотезы:

· Н₁ – шар (любой) будут выбирать из первого ящика,

· Н₂ – шар (любой) будут выбирать из второго ящика,

· Н₃ – шар (любой) будут выбирать из третьего ящика.

Очевидно, при возможности выбора любого ящика Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = 1/3

Вероятность того, что взятый шар белый, при условии, что он был извлечен из первого ящика

Р(А/Н₁) = =

Аналогично: Р(А/Н₂) = = ; Р(А/Н₃) = =

Представляя полученные числа в формулу Р(А) = Р(Н₁) Р(А/Н₁) + Р(Н₂) Р(А/Н₂) + Р(Н₃) Р(А/Н₃) + …….. + Р(Н_n) Р(А/Н_n), получим

Р(А) = * + * + * = * =

Рассмотрим предыдущий пример. Допустим, что событие А наступило, т.е. вынутый шар оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первого ящика будет равна

Р(Н₁/А) = = * : =

Формула Бернулли. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p, тогда вероятность того, что событие А наступит m раз будет

P_n,m = C ×p^m × (1-p)^n-m

Теорема Бернулли (Закон больших чисел). Если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события