Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике

Студент должен знать:

- таблицу неопределенных интегралов;

- методы интегрирования.

Студент должен уметь:

- находить неопределенные интегралы;

- составлять и решать дифференциальные уравнения.

Краткое содержание теоретического материала

В математике очень часто приходится рассматривать уравнения, в которых неизвестными являются функции. Так, задача о нахождении пути s(t) по заданной скорости v(t) сводится к решению уравнения s ' (t)= v(t), где v(t) заданная функция, а s(t) искомая функция.

Например, если v(t)=3-4t, то для нахождения s(t), нужно решить уравнение s ' (t)= 3-4t.

Это уравнение содержит производную неизвестной функции. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = j(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в верное равенство. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Обыкновенные дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение – они широко используются в механике, астрономии, физике и других науках. Такое широкое распространение дифференциальных уравнений в естествознании объясняется тем, что многие явления и процессы, происходящие в природе, количественно описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В медицинских приложениях дифференциальные уравнения, например, используются:

· Для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови других параметров гемодинамики;

· Для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;

· Для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных.

Например, решить дифференциальное уравнение у '= х+1

Требуется найти функцию у(х) производная которой равна х+1, т.е. найти первообразную функции х+1. По правилам нахождения первообразных получаем:

у= С, где С – произвольная постоянная

Решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно, с точностью до постоянной.

Обычно к дифференциальному уравнению добавляется условие, из которого эта постоянная определяется

Например, найти решение дифференциального уравнения у '= cos x, удовлетворяющее условию у(0)=2

Все решения этого уравнения записываются формулой

у(х)=sin x+С ( общее решение уравнения)

Из условия у(0)=2 находим

sin 0+C=2; откуда C=2

Поэтому у(х)=sin x+2 будет являться частным решением уравнения.

Решение многих биологических, физических, технических и других практических задач сводится к решению дифференциального уравнения

у '= ky, г де k – заданное число. Решениями этого уравнения являются функции у=Се^kx, г де С – постоянная, определяемая условиями конкретной задачи.

Например, скорость m ' (t) размножения бактерий связана с массой m (t) бактерий в момент времени t уравнением

m ' (t)= k m (t), где k – положительное число, зависящее от вида бактерий и внешних условий.

Постоянную С можно найти, например, из условия, что в момент t=0 масса бактерий m₀ известна. Тогда

m(0)=m₀= Се^k·0=C, и поэтому

m (t)= m₀ е^kt

Другим примером применения уравнения у '= ky является задача о радиоактивном распаде вещества.

Физическое свойство радиоактивного вещества – свойство распада – обычно формулируют в виде “Закона радиоактивного распада”:

Скорость радиоактивного распада вещества пропорциональна количеству этого вещества.

Так как, в согласии с законом радиоактивного распада, масса вещества меняется со временем, то обозначим её m (t), (t – время). Если m ' (t) - скорость радиоактивного распада в момент времени t, то

m ' (t)= - k m (t), где k – постоянная, зависящая от радиоактивности вещества. Решениями этого уравнения являются функции m (t)= Се^-kx,

Если в момент времени t масса равна m₀, то С=m₀, и поэтому
m (t)= m₀ е^-kt

Заметим, что на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, т.е. промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.

Пусть Т – период полураспада, тогда из равенства m (t)= m₀ е^-kt

При t = Т получаем , откуда , поэтому формула запишется так: m (t)= m₀

Дифференциальные уравнения первого порядка вида у '= f(x) g(y)

называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Для того, чтобы найти решения уравнения с разделяющимися переменными, необходимо обе части уравнения умножить (или разделить) на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входила только переменная х, а в другую только переменная у, а затем проинтегрировать обе части уравнения.

Записывая данное уравнение в виде

,

получаем и

Например:

Решить уравнение: 1) у '= cos x, 2) у ' =6х³

у '= cos x у ' =6х³

dy=cos x dx dy=6x³dx

y=sin x + C y=

Проверим, что следующие функции являются решениями дифференциальных уравнений:

а) х у ' – у = 0, у= Сх

Решение:

у ' =(Сх) '= С

Подставим в уравнение у= Сх и у ' =С

х у ' – у = 0

х С– Сх = 0

0=0, з начит у= Сх – решение уравнения х у ' – у = 0

б) у '' – у '+ = 0, у=С₁ х + С₂ х²

Решение:

у ' =(С₁ х + С₂ х²) ' = С₁ + 2С₂ х

у ''= (С₁ + 2С₂ х) ' = 2С₂

2С₂ - (С₁ + 2С₂ х) + (С₁ х + С₂ х²)=0

2С₂ - С₁ - 4 С₂ + С₁ + 2С₂=0

0=0

значит у=С₁ х + С₂ х² - решение уравнения у '' – у '+ = 0

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Проверьте, является ли данная функция решением приведенного рядом дифференциального уравнения:

1) у=х(Се^-х-1) ху ' +х²+ху-у=0

2) у=х+С cos х у+у ' + у ''+ у '''= х+1

3) у=С е^{cos x} уу ''+ у²cos x=(у')²

2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

а) у ' =3 – 4х; у ' =6х² – 8х + 1; у ' =3 е^2х;

у ' =3 sin x; у ' =4 cos 2x; у ' =cos x – sin x;

б) у ' у = 5 – 3х²; у ' = ху; х у ' + у = 0; у ' = у;

у ' – х у – у = 0; у '= 2у-6; у ' = х(1+у²); у sin x dx = cos x dy

3. Найти частное решение дифференциального уравнения:

1) у ' = sin x; у(0) = 3 5) у ' = cos 2x; у() = 1

2) у ' =3х² + 4х – 1; у(1) = -2 6) у ' =-3х² + 2х + 2; у(-1) = 2

3) у ' = е^х; у(1) = 1 7) у ' = ; у(1)=7

4) у '= 2у-6; у(0)=4 8) у ' =2 е^4х; у(0) = 8

4. Выполнить задания:

1) Найти частное решение дифференциального уравнения.

= 3уdy, если при у = 0; х = 1

2) Найти частное решение дифференциального уравнения.

(y + 1)dy – xdx = 0, если при у = 2; х = 1

3) Найти частное решение дифференциального уравнения.

dy + xdx = 2dx, если при у = 1.5 х = 1

4) Найти частное решение дифференциального уравнения.

dx = (2y - 5)dy, если при у =1 х = - 4

5) Найти частное решение дифференциального уравнения.

х²dx = dy, если при у =1 х = 0

6) Составить дифференциальное уравнение семейства кривых:

1) у = + С

2) у = (х + С)², х ³ С

7) Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:

1) y′ = -2xy

2) y′ =

8) Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию y = y₀ при x = x₀

1) xdy – ydx = 0 при y = 2, x = 1

2) y′ = y cosx при y = 1, x = 0

9) Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию y = y₀ при x = x₀

1) y′ + y = 3x при y = 1, x = 1

2) xy′ = х + y при y = - 1, x = 1

Вопросы к теме

1. Какое уравнение называют дифференциальным уравнением?

2. Как определяется порядок дифференциального уравнения?

3. Что является решением дифференциального уравнения?

4. Что такое общее решение дифференциального уравнения?

5. Что такое частное решение дифференциального уравнения?

6. Какое дифференциальное уравнение называют уравнением с разделяющимися переменными?

Основные понятия дискретной математики. Теория вероятности

Студент должен знать:

- элементы математической логики;

- основные понятия комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания и их формулы;

- понятие случайного события, частоты случайного события, достоверности, равносильности, противоположности события;

- определение вероятности события;

- основные теоремы и формулы теории вероятности;

- определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Студент должен уметь:

- производить операцию дизъюнкций, конъюнкции, отрицания;

- находить число размещений, перестановки, сочетания.

- находить сумму (объединение), произведение (пересечение) событий, вероятность событий;

- применять основные теоремы и формулы при нахождении вероятности события, математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Краткое содержание теоретического материала

Основные понятия теории вероятности – это испытание, исход, событие.

Событие – это факт, который может произойти, а может и не произойти.

Виды событий:

1) достоверные;

2) невозможные;

3) случайные;

4) равновозможные;

5) несовместные.

Операции над событиями:

1. Дизъюнкция. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или B, называется суммой событий А и B и обозначается через

А + B

2. Конъюнкция. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через

АB

3. Отрицание. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначается через

Вероятностью события A называется отношение числа благоприятных событию А элементарных исходов к числу всех исходов.

Р(А) =

Отношение числа исходов, в которых событие А наступило, к числу всех испытаний, называется частостью события A (относительной частотой события).

W(A)=

Например: В корзине находятся 5 синих и 10 красных шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего и красного шаров при одном вынимании шара из корзины?

Т.к. появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n=5+10=15 элементарных событий. Пусть А={красный шар}, В={синий шар}. m₁=5, m₂=10

Р(А)=10/15=2/3, Р(В)=5/15=1/3

В ероятность достоверного события следует принять равной единице:

P(А) = 1

Вероятность невозможного события следует считать равной нулю:

P(А) = 0