Неопределенный и определенный интегралы и их свойства. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач

Функция F(x), , называется первообразной для функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого и F’(x)=f(x).

Основное свойство первообразных:

Если F(х) – первообразная для функции f(х), то и функция F(х)+С, где С 0 любое постоянное число, также является первообразной для функции f(х)

F(х)+С – общий вид первообразных для функции f(х)

Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:

В формуле выражение f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С – постоянной интегрирования.

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2. Постоянный множитель а (а≠0) можно выносить за знак неопределенного интеграла:

3. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

4. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).)

1. (n≠-1).

2. (a >0, a≠1).

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. (a≠0).

10.
(|u| < |a|).

11.

12.

Интегралы 1 – 12 называют табличными.