Неоднородные системы уравнений

Определение. Алгебраическое выражение:

,

содержащее неизвестные в первой степени, называется линейным уравнением.

Определение. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется совокупность уравнений вида

,

где и () – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами.

Определение. Система называется неоднородной, если хотя бы один из ее свободных членов отличен от нуля.

Таким образом, система вида

является неоднородной.

Систему уравнений можно представить и в более краткой записи:

Любую систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения вида . Для этого введем в рассмотрение следующие матрицы:

,

где А – матрица из коэффициентов при неизвестных, называемая основной матрицей системы, X – столбец неизвестных, B – столбец свободных членов.

Записывая систему уравнений в векторной форме введем обозначения для столбцов матрицы А:

, ,…, .

Тогда система линейных уравнений в векторной форме имеет вид

Определение. Решением системы называется упорядоченная совокупность n чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Решение системы можно рассматривать как вектор пространства Kⁿ.

Ясно, что вектор будет решением тогда и только и тогда, когда выполняется векторное равенство

.

Определение. Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, и несовместной (противоречивой), если эта система не имеет решений.

Определение. Совместнаясистема линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Определение. Две системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными (равносильными), если множества их решений совпадают.

Определение. Преобразования системы уравнений называются элементарными, если они не изменяют множества решений системы.

К ним относятся:

− умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на число, не равное нулю;

− замена i -го уравнения СЛУ, которая получается путем сложения прибавление к обеим частям i- го уравнения соответствующих частей j -го уравнения, умноженного на число, отличное от нуля.