Разложение вектора по ортам координатных осей

Пусть векторы i, j, k – орты координатных осей прямоугольной системы координат Оxyz, то любой вектор можно представить и притом единственным образом в виде линейной комбинации этих векторов

Действительно, по определению суммы двух векторов .

Так как , ,

, , , то . Обозначив , и ) получим .

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей, числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора .

Векторное равенство записывается в символическом виде .

Зная проекции вектора легко найти длину или модуль вектора . На основании теоремы о длине прямоугольного параллелепипеда можно записать

.

Определение. Длиной вектора называется число, равное длине отрезка, которое определяется по формуле:

.

Вектор образует с координатными осями Ох, Оу, Oz углы α, β и γ соответственно. По свойству проекции вектора на ось

.

Таким образом, направление вектора определяется с помощью так называемых направляющих косинусов:

, , .

Направляющиекосинусы связаны между собой соотношением

.