Решение задачи об оптимальном выборе потребителя. Кривые безразличия графически отражают систему предпочтений потребителя

Кривые безразличия графически отражают систему предпочтений потребителя. Естественно потребитель стремится приобрести товарный набор, принадлежащий наиболее удаленной от начала координат кривой безразличия. Однако это не всегда возможно, так как потребительское поведение ограничивается средствами, которыми он располагает.

Если обозначать рыночные цены блага x через p _{х ,} а блага y через p _y, а его доход через I, то бюджетное ограничение потребителя можно записать в виде уравнения

. (4.21)

Доход потребителя равен сумме его расходов на покупку товаров x и y.

Преобразуем уравнение и получим уравнение бюджетной линии, которая имеет вид прямой линии (рис. 4.11). Чем выше доход, тем дальше от начала координат находится линия бюджетного ограничения:

. (4.22)

Пусть заданы линия бюджетного ограничения и несколько кривых безразличия. Какой товарный набор выбирает потребитель?

Оптимум потребителя будет в точке С (рис. 4.12). В рамках бюджетного ограничения индивид постарается так распределить свой доход между различными благами, чтобы максимизировать полезность u. Соответствующий набор благ называется оптимальным планом потребления и обычно обозначается точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия.

Рис. 4.11. Бюджетная линия

Рис. 4.12. Оптимальный выбор потребителя

В точке оптимума выполняется равенство

(4.23)

Соотношение цены блага x к цене блага y равно предельной норме замещения блага x благом y.

В общем случае рассмотрим потребителя (группу семей) с определенным доходом I, предназначенным для приобретения набора товаров x =(x ₁ ,..., x _j,..., x_n), цены которых соответственно равны p =(p ₁,..., p_j,..., p_n).

Здесь x, p - неотрицательные векторы.

Ограниченность возможного выбора потребителя выражается с помощью бюджетного ограничения:

(4.24)

Постановка задачи оптимального выбора потребителя может быть сформулирована двояко:

а) в терминах отношения предпочтения: наилучшим (оптимальным) считается набор , который является наиболее предпочтительным по отношению среди всех неотрицательных векторов x, удовлетворяющих бюджетному ограничению. Наиболее предпочтительным на множестве R обычно называется набор . Очевидно, что единственность такого набора, вообще говоря, не обеспечена;

б) в терминах функции полезности: оптимальный набор соответствует наибольшему значению u (x) в указанных выше условиях, т.е. является решением задачи:

u (x) = u (x ₁,..., x_j,..., x_n) →max

при условиях

При анализе задачи оптимального выбора обычно применяется еще одно важное предположение теории потребления, которое носит название гипотезы ненасыщения потребителя.

Функция полезности является монотонно возрастающей по каждому аргументу x_j. Если функция полезности имеет производные по своим аргументам, то из предположения о ненасыщаемости (и монотонности u (x)) следует, что все первые частные производные функции полезности являются положительными, т.е.

, (j = 1,..., n).

Для любого набора потребительских благ. Величина частной производной

имеет следующий экономический смысл: она показывает, на сколько увеличится полезность набора, если количество потребляемого блага увеличится на малую единицу. В связи с этим указанная производная носит название предельной (маргинальной, дифференциальной) полезности.

В экономических исследованиях, как правило, используются некоторые конкретные виды выпуклых функций полезности, причем подбор вида функции и оценка числовых значений параметров производятся на основе наблюдений и анализа поведения потребителей. Чаще всего применяются линейная, квадратическая и логарифмическая функции вида

(4.25)

Например, для логарифмической функции u (x ₁, x ₂) = log x ₁ + log x ₂ кривые безразличия имеют вид log x ₁ + log x ₂ = log (x ₁ x ₂) = const, т.е. являются гиперболами в положительном ортанте (рис. 4.13).

Рис. 4.13. Кривые безразличия для логарифмической функции полезности

На рис. 4.13 C ₂ > C ₁ , т.е. более высокая кривая безразличия соответствует большему уровню полезности тех наборов, которые составляют кривую безразличия.

Рассмотрим задачу оптимального выбора потребителя для ненасыщаемого потребителя.

Оптимальный набор (..., ) необходимо должен удовлетворять бюджетному ограничению как точному равенству. Если бы оптимальный набор достигался бы при условии

то потребитель мог бы купить на оставшиеся деньги некоторое количество любого блага и тем самым получить новый набор с большей полезностью. Это означает, что внутренняя точка множества не может быть оптимальным набором.

Таким образом, задача об оптимальном наборе имеет вид

u (x) = u (x ₁ ,..., x_j,..., x_n) → max,

Решение этой задачи на условный экстремум находится при помощи метода множителей. Оптимальный набор определяется путем решения следующей системы из (n +1) уравнения

(4.26)

относительно (n +1)-го неизвестного, а именно элементов оптимального набора (..., ) и множителя Лагранжа .

Таким образом, при заданной системе цен потребитель должен выбрать такой набор, в котором все предельные полезности пропорциональны ценам. При этом оптимальное значение множителя Лагранжа часто называют предельной полезностью денег и трактуют как прирост максимальной полезности при увеличении дохода I на малую единицу. Заметим, что соотношения оптимальности могут быть представлены в виде

(4.27)

который допускает интерпретацию: в оптимальной точке величина дополнительной полезности в расчете на одну денежную единицу должна быть одинакова для всех товаров и услуг. Необходимо отметить, что для некоторых товаров могут быть выполнены соотношения

и

которые означают, что такие товары сравнительно мало полезны и относительно дороги, а поэтому и не должны быть включены в оптимальный набор потребителя, максимизирующего свою полезность при ограниченном доходе.

Пример.

Пусть n = 2, функция полезности

u (x ₁, x ₂) = ln x ₁ + ln x ₂ ,

бюджетное ограничение

p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ = I.

Решение задачи оптимального выбора

отсюда

Используя бюджетное ограничение, имеем

Как видно из приведенного решения, оптимальный выбор потребителя имеет очень естественный вид: количество потребляемого блага прямо пропорционально доходу I и обратно пропорционально его цене. Геометрическая интерпретация решения задачи оптимального выбора приведена на рис. 4.12.

В более реалистичных вариантах постановки задачи оптимального выбора при помощи дополнительных условий могут быть учтены ограничения по ассортименту потребляемых товаров и услуг, возможность взаимной замены различных продуктов и т.п.