Аналитическое решение задачи потребительского выбора. В силу выявленных свойств, которыми должно обладать решение задачи потребительского выбора, переформулируем задачу следующим образом:

В силу выявленных свойств, которыми должно обладать решение задачи потребительского выбора, переформулируем задачу следующим образом:

(4.28)

В новой формулировке задача потребительского выбора представляет собой задачу нелинейного программирования.

Для решения данной задачи составим функцию Лагранжа:

(4.29)

и найдем ее точки максимума. Точки, в которых функция Лагранжа достигает своего максимума, находятся среди стационарных точек, удовлетворяющих условиям:

(4.30)

Получаем условия первого порядка решения задачи потребительского выбора:

(4.31)

Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя. В точке решения задачи потребителя отношение предельных полезностей любых двух товаров должно совпадать с отношением цен этих товаров.

Решение задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Маршалла:

(4.32)

Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и дохода потребителя.

Пример.

Пусть функция полезности потребителя имеет следующий вид:

В этом случае, предельные полезности товаров MU₁=x₂, MU₂=x₁ и условия первого порядка приобретают следующий вид:

и, следовательно, функции спроса Маршалла:

Замечание: использование аналитического метода далеко не всегда приводит к решению задачи потребительского выбора. В ряде ситуаций (совершенные товарозаменители, функция полезности Леонтьева) целесообразно использовать графическое решение.

Выясним, каков экономический смысл множителя Лагранжа λ. Найдем полный дифференциал функции полезности в окрестности точки потребительского выбора:

Мы видим, что множитель Лагранжа представляет собой предельную полезность, которую получает потребитель от каждой дополнительной единицы дохода.