Виды производственных функций

Производственные функции в широком смысле охватывают моделирование зависимостей, существующих между такими показателями производственной деятельности, как объем выпускаемой продукции, капитальные затраты, фондоотдача, производительность труда и т.д.

В более узком смысле под производственной функцией понимается зависимость выпуска продукции от затрат различных производственных ресурсов. В общем виде функция может быть записана в виде

(3.1)

где - выпуск продукции;

- факторы, определяющие величину выпуска продукции (затраты труда, материалов и т.д.). Зависимость между затратами различных видов ресурсов и объемом выпуска продукции должна быть выражена уравнением множественной регрессии.

При разработке ЭММ нередко исходят из предположения о линейной зависимости между затратами ресурсов и выпуском продукции. Однако предположение о линейном характере зависимости затрат и выпуска продукции является значительно упрощенным. Если по отношению к затратам материалов и сырья это предположение может быть принято, то по отношению машин это предположение не всегда может быть принято.

Построение моделей оптимального планирования, приближающихся к реальной экономической действительности, требуют углубления и уточнения связей между затратами ресурсов и выпуском продукции.

Наиболее часто в качестве нелинейной функции используется уравнение

(3.2)

Этому уравнению соответствует линейно-логарифмическая функция

(3.3)

Для каждого фактора можно определить абсолютную скорость, с которой в пределе возрастает выпуск продукции с ростом затрат данного фактора. Эта скорость определяется как частная производная выпуска продукции по затратам данного вида ресурсов:

. (3.4)

Абсолютная скорость зависит от величины всех компонентов уравнения. Отношения частных производных для двух каких-либо факторов служат своеобразными нормами заменяемости этих ресурсов с точки зрения производства данной продукции.

Наряду с абсолютной скоростью большой интерес представляет изменение выпуска продукции при увеличении затрат ресурсов данного вида на 1%.

Для получения относительной скорости нужно величину абсолютной скорости умножить на отношение затрат ресурсов к выпуску продукции.

Так, для первого фактора относительная скорость составляет

(3.5)

Относительная скорость изменения объема выпуска продукции от изменения затрат на 1 % называется эластичностью выпуска по затратам и обозначается символом Е. Для любого i фактора выполняется условие:

. (3.6)

Таким образом, для уравнения типа (3.2) эластичность выпуска продукции для каждого фактора является величиной постоянной и равна соответствующему коэффициенту уравнения регрессии. При любом объеме затрат и выпуска увеличение затрат i-го вида ресурсов на 1 % ведет к увеличению выпуска продукции на %.

Будем предполагать, что фирма производит n различных видов продукции. Обозначим через q=(q₁, ….. q_n)^T - вектор выпуска, компонентами которого являются выпуски каждого конкретного вида продукции. Предположим, что для осуществления выпуска используется видов факторов производства. Обозначим через x=(x₁, ….. x_m)^T вектор затрат факторов производства, компонентами которого являются объемы потребления каждого конкретного фактора.

Множество векторов выпуска продукции образуют, так называемое пространство выпуска

(3.7)

Множество векторов затрат факторов производства образуют так называемое пространство затрат

(3.8)

Технологическая связь между затратами факторов производства и объемом выпуска продукции описывается с помощью производственной функции.

Функция q=f(x), которая каждому вектору затрат из пространства затрат ставит в соответствие максимальный выпуск, который может быть произведен при данных затратах, называется производственной функцией фирмы.

В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме

где A представляет собой технологическую матрицу размерами n x m.

Если в качестве независимых аргументов рассматриваются затраты, то производственную функцию называют функцией выпуска. Если в качестве независимых аргументов рассматриваются объемы выпуска, то производственную функцию называют функцией затрат. В дальнейшем, для простоты выкладок мы будем предполагать, что фирма выпускает только один вид продукции.

С понятием производственной функции связано понятие предельного продукта.

Предельным продуктом i- го фактора производства (MP_i- marginal product (англ.)) называют дополнительный объем выпуска, который будет произведен при потребления каждой дополнительной единицы данного фактора

(3.9)

Производственная функция обладает следующими свойствами:

1. C увеличением потребления какого либо фактора значение выпуск продукции возрастает:

(3.10)

2. C увеличением объема потребления какого либо фактора скорость выпуска продукции убывает:

(3.11)

3. Производственная функция является однородной функцией своих аргументов:

, (3.12)

где β представляет собой степень однородности.

Рассмотрим основные виды производственных функций:

1. Неоклассическая производственная функция (производственная функция Кобба-Дугласа):

(3.13)

Здесь величины a₁, ….. a_m представляют эластичности выпуска к изменению объема соответствующего фактора производства, - масштабирующий множитель.

2. Производственная функция «затраты-выпуск» (функция Леонтьева):

(3.14)

Эта функция задает пропорции, в которых осуществляется потребление затрат факторов производства для осуществления выпуска одной единицы продукции. Величины a₁, ….. a_m представляют собой пропорции объемов потребления соответствующих факторов производства.

3. Линейная производственная функция:

(3.15)

Данное семейство функций полезности описывает ситуацию, когда факторы производства являются полностью взаимозаменяемыми. Коэффициенты a₁,…..a_m представляют собой пропорции, в которых один фактор может быть заменен другим.

Переменные издержки касаются использования имеющихся в распоряжении фирмы факторов производства и изменяются в соответствии с объемом выпуска продукции.