Ассоциативность

С

+ =

+ =

+ ( + ) = + = (14.1)

( + ) + = + = (14.2) В

(14.1) = (14.2)

О А

Рис 14.3

3) + =

4) По определению: – = + (- ).

= , тогда - = : – = + (- ) = + = =

5) Пусть 0, 0, λ 0 (иначе 5-е свойство становится тривиальным: = , или (при = 0); λ = λ), предположим: и неколлинеарные.(случай || будет доказан в §16 п.16.2)

Пусть точка О – начальная точка вектора . (см. рисунок 14.4)

	В’

В

= = λ = λ =

Также: || (т.к. λ || ) и OAB = OA`B`.

Также: О А А’

Рис 14.4

Поэтому ΔOA`B` ~ ΔOAB, B`OA` = BOA, т.е точка B лежит на прямой OB’.

Но ` = ` + = λ + λ (14.3);

= + = + (14.4)

`|| , т.к. ∆OAB ~ ∆OA’B’ , т.е. (14.5)

Подставляем (14.3) и (14.4) в (14.5) получаем λ + λ = λ( + ).

6) Можно полагать, что λ 0, μ 0, 0, иначе свойство (6) становится тривиальным:

= .

(или при μ = 0, λ = λ )по определению (см.14.2, правило 1)считаем, что λ ‌║‌ , μ ║ → (λa + μ ‌‌‌) ║‌ (14.7)

и (λ + μ) || (14.8).

Из (14.7) и (14.8) следует, что (λ+ μ) || λ + μ .

Далее надо рассматривать следующие случаи:

а) λ > 0, μ > 0

б) λ > 0, μ < 0, λ + μ > 0

в) λ > 0, μ < 0, λ + μ < 0

г) λ < 0, μ < 0

Рассмотрим, например, случай (б): т.к. λ + μ > 0, то (λ + μ) ↑↑ , λ ↑↑ , μ ↑↓ , т.е. μ ↑↓λ .

Поэтому вектор коллинеарен как , так и , и направлен в сторону более

длинного вектора, т.е. .

(14.10)

Из случая (б) имеем: , т.е.

из (14.10) следует (14.11)

т.е. векторы и имеют одинаковую длину.

Заметим, что , ибо имеет большую длину, чем

Поэтому и случай б) доказан

(Остальные случаи читателю предоставим рассмотреть самостоятельно.)

7) Заметим, что (14.12)

т.е. (см 14.12)); (14.13)

Покажем, что (14.14)

Для чего рассмотрим следующие случаи:

а) б) в) г)

Рассмотрим, например, случай (в) (остальные случаи просим читателя рассмотреть самостоятельно):

и потому (14.15)

также , , т.е. (14.16)

сопоставляя (14.15) и (14.16), получим (14.14).

8) и , т.е.

Вопрос

А) Линейно – зависимые векторы и их свойства

Определение:

Система векторов называется линейно-зависимой (л.з.), если , не все из которых = 0 и .

Определение:

линейно выражается через , если , что

Свойства:

1) Если система содержит нуль-вектор, то она линейно зависима: = .

2) Если система имеет линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима.

, т.к.

3) Система векторов линейно зависима, тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные векторы.

, если , то

Если же , то и система линейно зависима.

Б) Формулировки теорем о линейной зависимости коллениарных и компланарных векторов

Теорема 16.0: – л.з. (если , то вектор ).

Теорема 16.1: 2 вектора линейно зависимы, тогда и только тогда, когда они коллинеарные.

Доказательство:

(Смотри п14.2(§14) правило 1) определение)

Если , то

(“+”, если сонаправленны; “–“, если противоположно направлены).

(читателю предлагаем самостоятельно доказать, что если («+», если и «-» то ), то и ) т.е )

Причём, если , то , и и, таким образом, свойство (5) суммы и умножения векторов на число (см.31.4) полностью доказано.

Теорема 16.2: 3 вектора линейно зависимы, тогда и только тогда, когда они компланарные.

Доказательство:

– л.з. и они компланарны, ибо является диагональю параллелограмма, на сторонах которого лежат векторы и .(см. рис 16.1)

В

Пусть – компланарны;а (иначе

содержит линейно зависимую подсистему

; , .

Тогда O A

Рис 16.1

Мы показали так же что справедлива

Лемма 16.1: если неколлинеарные, компланарные, то , что .