В) Формулировка теоремы о линейной зависимости четырех векторов

Теорема 16.3: 4 вектора всегда линейно зависимы.

Доказательство:

Пусть выходят из общего начала (точки О). Можно считать, что среди векторов нет компланарных троек (иначе существует л.з. подсистема). Из конца вектора (т.D) проводим прямую до её пересечения с плоскостью, на которой расположены векторы и . Пусть М – искомая точка пересечения. (см. рис 16.2)

Тогда и, следовательно, (16.1)

По правилу треугольника, (16.2)

Векторы и не коллинеарные, и тогда (16.3)

Подставляя вместо в (16.2) его выражение по формуле (16.3), получаем , т.е. линейно выражается через векторы , и система – л.з.

D

C B M

O A

Вопрос

Линейная зависимость колениарных и компланарных векторов. Линейная зависимость четырех векторов.

Формулировки теорем о линейной зависимости коллениарных и компланарных векторов

Теорема 16.0: – л.з. (если , то вектор ).

Теорема 16.1: 2 вектора линейно зависимы, тогда и только тогда, когда они коллинеарные.

Теорема 16.2: 3 вектора линейно зависимы, тогда и только тогда, когда они компланарные.