Ступенчатые матрицы; сведение матрицы к ступенчатой

Ступенчатой называется матрица такого вида:

/при переходе к следующей строке «вниз» идем не более, чем на один ненулевой элемент; слева направо последующая строка может увеличиться и на несколько нулевых элементов/

Нулевая матрица, по определению, также является ступенчатой.

Справедлива следующая теорема Гаусса:

Всякая матрица эквивалентна некоторой ступенчатой матрице.

Эту теорему доказываем методом математической индукции по числу строк матрицы А:

1. n=2, т.е. ;

Не ограничивая общности, можно считать, что , ибо если , а , то меняем местами первую и вторую строки.

Из второй строки матрицы А вычтем первую, умноженную на . Получим:

— ступенчатая матрица.

2. Шаг индукции. Пусть .

Можно считать, что первый столбец матрицы А ненулевой, т.е. при некотором j. Тогда, меняя, в случае необходимости первую и j-ую строки местами, получим, что (для новой матрицы). Вычитая из j-й строки (j=2,3,...,k,k+1) первую, умноженную на , получим:

–– ступенчатая матрица.

Матрица, получившаяся в правом нижнем углу матрицы А, состоит из k строк, и поэтому она сводится к ступенчатой по индуктивному предположению.

Теорема Гаусса доказана.