Лекция 20 Предел числовой последовательности

Определение 1: Число а называется пределом числовой последовательностью { х_n }, если для любого положительного числа e существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство | x_n - a |< e. Последовательность { х_n } – называется сходящейся. .

Определение 2: Последовательность { х_n } не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Из определения 1 предела следует, что каким бы малым мы ни взяли число e >0, начиная с некоторого номера N все элементы последовательности будут отличаться от числа а меньше, чем на e, то есть элементы последовательности неограниченно приближаются к числу а при неограниченном возрастании номера n.

Определение 3: Число а не является пределом числовой последовательности { х_n }, если существует положительное число e, что для любого номера N найдётся номер n > N такой, что выполняется неравенство | x_n - a |³ e.

Из | x_n - a |< e Þ - e < x_n - a < e Þ а - e < x_n < а + e, то есть элемент x_n находится в e -окрестности точки а.

Следствие 1: Пусть { х_n } сходится и имеет своим пределом некоторое число а.

Тогда разность { х_n - а }={ a_n } является бесконечно малой последовательностью, так как для любого e >0 существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство | x_n - a |=| a_n |< e.

Следствие 2: Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом 0.

Следствие 3: Любой элемент x_n сходящейся последовательности, имеющей пределом число а можно представить в виде: x_n = а + a_n, где a_n элемент бесконечно малой последовательности { a_n }. Справедливо и обратное.

Определение 4: Число а называется пределом числовой последовательностью { х_n }, если для любой e -окрестности точки а существует номер N такой, что все элементы x_n с номерами n > N находятся в этой e -окрестности.

Бесконечно большие последовательности имеют бесконечный предел .

·

Предел функции

Основные теоремы о пределах

Два замечательных предела