Лекция 21 Предел функции

Определение 1 (по Гейне): Число А называется пределом функции f (х) в точке х = х ₀, если для любой сходящейся к х ₀ последовательности значений аргумента х, отличных от x ₀ соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А .

Функция может иметь в точке только один предел.

Определение 2 (по Коши): Число А называется пределом функции f (х) в точке х = х ₀, если для любого числа e >0 существует число d >0, такое, что для всех х Î Х, х ¹ х ₀, удовлетворяющих неравенству | x - х ₀|< d, выполняется неравенство | f (x)- A |< e.

Теорема 1: Оба определения предела функции эквивалентны.

Определение 3 (по Гейне): Число А называется правым (левым) пределом функции f (х) в точке х = х ₀, если для любой сходящейся к х ₀ последовательности значений аргумента элементы которой х_n больше (меньше) х ₀, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А . Определения односторонних пределов.

Определение 4 (по Коши): Число А называется правым (левым) пределом функции f (х) в точке х = х ₀, если для любого числа e >0 существует число d >0, такое, что для всех х Î Х, х ¹ х ₀, удовлетворяющих неравенству х ₀< x < х ₀+ d (х ₀+ d < x < х ₀), выполняется неравенство | f (x)- A |< e. Определения односторонних пределов.

Теорема 2: Функция f (х) имеет в точке х = х ₀ предел тогда и только тогда, когда в этой точке существует как правый, так и левый пределы и они равны.

Определение 5: Число А называется пределом функции f (х) при х ®+¥ (х ®-¥), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы х_n которой положительны (отрицательны) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А .

Если пределы функции при х ®+¥ и при х ®-¥ равны , то пишут