Лекция 13 Разложение рациональной функции на элементарные дроби

Теорема 1: Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, а многочлен Q (x) представим в виде:

Q (x)= А (x - a) ^r (x - b) ^s …(x ²+ px + q) ^t (x ²+ ux + v) ^l,

то эту функцию можно представить единственным образом в виде:

Данное разложение называется разложением рациональной функции на элементарные дроби.

Метод неопределённых коэффициентов: Умножим обе части разложения на Q (x) и приравняем коэффициенты, стоящие при равных степенях. Решим систему уравнений первой степени.

Теорема 2: Если рациональная функция имеет степень многочлена в числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, то выполнив деление получим:

,

где W (x) — некоторый многочлен, а R (x) — многочлен степени меньше, чем Q (x).