Произведение двух комплексных чисел есть такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей

Замечание 1: Произведение сопряженных комплексных чисел z = а+ib и` z = а-ib есть действительное число и выражается так:

z`z = а²+b²

Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них.

· Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению.

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Замечание 2: Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число.

Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики.

Замечание 3 Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются сопряженными числами. Отсюда, в частности, вытекает следующая теорема:

Теорема: Если в многочлен с действительными коэффициентами

А ₀ хⁿ+А ₁ х^{n -1} +... +А_п

подставить вместо х число а + ib, а затем сопряженное число а - ib, то и результаты этих подстановок будут взаимно сопряженными.

Например: Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме и тригонометрической форме и сопоставить результаты: z ₁=-2+2 i; z ₂=1- i