Подобие цепей с распределенными параметрами

Наиболее характерные цепи этого типа — дальние линии электропередач, линии связи, волноводы и т. п. Отвлекаясь от вопросов геометрического подобия и пренебрегая излучением энергии в пространство, можно свести описание задачи к известным уравнениям однородной линии:

(11.56)

. (11.56)

При составлении данных уравнений предполагалась неизменность параметров линии (сопротивления, емкости, проводимости) во времени. Это допущение правомерно при анализе волновых процессов, поскольку, например, изменение сопротивления от температуры происходит несоизмеримо медленнее протекания электромагнитных процессов. Поэтому схема замещения, отвечающая данным уравнениям, представляет собой цепь с постоянными параметрами и, следовательно, в нахождении критериев подобия не будет ничего принципиально нового.

Уравнения (11.56) позволяют получить четыре критерия подобия способом интегральных аналогов:

(11.57)

(11.57)

(11.57)

. (11.57)

Согласно p-теореме, один из них, например , можно считать не определяющим, поскольку [19]

. (11.58)

Следовательно, для подобия рассматриваемых цепей необходимо и достаточно, чтобы были одинаковы относительные постоянные времени Т_*L, Т_*C и выполнялось условие

p₄ = idem. (11.59)

Выражения (11.57) позволяют получить соотношения, необходимые для определения масштабов:

(11.60)

(11.61)

(11.62)

. (11.63)

При этом масштабы независимых параметров (m_u, m_R, m_G, m_t) можно выбрать произвольно, а остальные масштабы определить из соотношений (11.60). Выражения критериев подобия могут быть получены и на базе p-теоремы.

При выявлении физических свойств подобных явлений целесообразно преобразовать исходные критерии к такому виду, который наиболее ярко характеризовал бы изучаемую сторону явления. Так, например, умножая левую и правую части критериального уравнения на и принимая во внимание, что для линии без потерь ее волновое сопротивление

, (11.64)

получим уравнение

, (11.65)

из которого следует, что процесс может характеризоваться соотношением

. (11.66)

Умножив обе части уравнения на , получим

. (11.67)

Учитывая, что скорость движения импульса по линии без потерь

(11.68)

и время пробега импульса от начала до конца линии

, (11.69)

определяем

. (11.70)

Очевидно, что при одинаковых относительных постоянных времени и у подобных линий относительное время пробега импульса соответственно одинаково и не зависит от значения и формы импульса.

Используя выражение для скорости распространения импульса вдоль линии без потерь, можно записать

(11.71)

или

. (11.72)

Следовательно, при m_t = 1 одинаковые скорости распространения импульсов по двум линиям могут быть получены лишь при одинаковых длинах этих линий (т. е. m_l=1). Изменение масштаба времени позволяет получить подобие скоростей распространения при различных длинах линий. В свою очередь, используя выражение для волнового сопротивления линии без потерь

(11.73)

и принимая во внимание соотношения (11.63), получаем масштаб волновых сопротивлений

(11.74)

Если устанавливаются условия подобия ЛЭП переменного тока, то, согласно второму дополнительному положению, кроме полученных выше критериев необходимо соблюсти критерий гомохронности

p_{5 =} ωt. (11.75)

В этом случае целесообразно записать критерии p₁₁ и p₃ в принятых для цепей переменного тока символах, для чего необходимо умножить их на критерий p₅:

(11.76)

. (11.77)

При рассмотрении процессов, протекающих в дальних линиях, можно при необходимости учесть изменение параметров во времени: сопротивления от нагревания проводов, проводимости, состояния погоды и т. п. Условия подобия при этом устанавливаются в соответствии со вторым дополнительным положением.

Подобие процессов в трансформаторах, электрических машинах и других устройствах с распределенными по длине параметрами при подходе с точки зрения подобия цепей устанавливается так же, как и подобие ЛЭП, если закон распределения параметров (схема замещения) известен.