Основы теории моделирования электрических сетей

Основные понятия теории подобия и моделирования

Теория подобия и моделирования является самостоятельной дисципли­ной или большим разделом научной дисциплины "Кибернетика электрических систем".

КИБЕРНЕТИКА - наука о целеустремленном оптимальном управлении развивающимися и саморазвивающимися большими системами, применительно к энергетике изучающая закономерности оптимального управления ее раз­витием и функционированием [17].

Всем процессам, происходящим в электроэнергетических системах, свойственны общие признаки:

- наличие цели и оптимизации, отраженной в алгоритме управления;

- отыскание условий оптимальности;

- управление на основе приема информации и ее обработки;

- корректировка управления в соответствии с действием обратных связей;

- учет взаимодействия данной системы с внешней средой, рассматриваемой как источник случайных помех.

МОДЕЛИРОВАНИЕ, таким образом, оказывается важнейшей составляющей кибернетики электрических систем, которая распадается на следующие разделы:

1) Теория подобия и моделирования физических, экономических и других явлений. Она показывает, как в каждом явлении найти наиболее общие черты, как планировать и ставить эксперименты и как обрабатывать данные любого эксперимента (физического, математического, мысленного). Сюда же относится конструирование различных, служащих основой изуче­ния сложных систем.

2) Основы применения вычислительных математических машин для исследования развития и эксплуатации электрических систем (методика исследования электрических систем с помощью установок математического моделирования и ЦВМ).

3) Теория информации о режимах систем (исследование и разработка способов получения от системы сведений о ее работе в нормальном режиме при малых отклонениях и при авариях).

4) Теория режимов автоматически управляемой сложной системы (ме­тоды управления системой, включая кибернетические).

Данная дисциплина посвящена первому и частично второму разделу.

МОДЕЛИРОВАНИЕ - метод исследования свойств определенного объекта посредством изучения свойств другого объекта, более удобного для реше­ния задачи исследования и находящегося в определенном соответствии с первым объектом.

МОДЕЛЬ - вспомогательный объект, находящийся в определенном соот­ветствии с изучаемым объектом-оригиналом и более удобный для решения задач конкретного исследования (экспериментальная установка, наблюдае­мое явление, символическое описание оригинала - текстовое, математи­ческое уравнение, чертеж, схема и т.п., а также мысленный образ и т.д.).

ПОДОБИЕ - первоначально заимствовано из геометрии.

ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ (ОБЪЕКТОВ) - развитие понятия афинного подобия.

Понятие подобия физических процессов (объектов) является развитием понятия аффинного подобия. Любой конкретный физический процесс φ₀ характеризуется определенной функциональной зависимостью F между некоторой совокупностью параметров P₁, P₁₁,..., P_j,..., P_n. Эта функциональная зависимость φ₀=F(P₁,...,P_j,...,P_n) может быть отображена графически в соответствующем n-мерном координатном пространстве x₁,..., x_j,...x_n, в котором участвующие в процессе φ₀ параметры P₁,...,P_j,...,P_n соотнесены с соответствующими координатными осями x₁,..., x_j,...x_n (в частном случае, когда одним из участвующих в процессе параметров P_j является время t, ось координат x_j = t). Аналогично в том же координатном пространстве может быть отображен процесс Ф₀ = F(R₁,...,R_j,...,R_n), характеризуемый сходственными с φ₀ параметрами. Если при этом все сходственные параметры (пространственные координаты) пропорциональны, т. е. если

, (11.1)

то процессы φ₀ и Ф₀ подобны.

Однако не все масштабные коэффициенты m₁,...,m_j,...,m_n физического процесса могут принимать независимые значения вследствие того, что взаимозависимы определенные значения параметров, характеризующих конкретный физический процесс (при произвольном выборе, например, сопротивления некоторого активного элемента и напряжения на нем ток, проходящий через этот элемент, и мощность, потребляемая им, имеют определенные значения). Это предопределяет возможность введения некоторых обобщенных характеристик подобных процессов, являющихся функциями групп зависимых и независимых параметров, — критериев подобия; в отличие от масштабных коэффициентов, в общем случае численно различных для определенных групп сопоставляемых подобных процессов, критерии подобия принимают одинаковые значения для всех подобных процессов в сходственных точках обобщенного пространства параметров x₁,..., x_j,...x_n.

Виды подобия. Абсолютное подобие характеризуется тем, что в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства параметры Р_j процессов и элементов в одной системе находятся в определенном соответствии со сходственными параметрами R_j в другой системе, т. е. [17].

, (11.2)

причем возможно m_j = const, m_j = var, m_j=f(P_j-r, P_j+k,...) и т. д.

Таким образом, оригинал и модель будут абсолютно подобны, если существует полное соответствие геометрических размеров сопоставляемых систем и изменяющихся во времени и в пространстве величин, т. е. процессов, протекающих в этих системах.

С точки зрения адекватности физической природы подобных явлений различают два основных вида подобия — физическое и математическое.

Физическое подобие достигается при одинаковой физической природе подобных явлений, оно может быть полным, неполным и приближенным.

В общем случае при физическом подобии механическим процессам в изучаемой системе ставятся в соответствие механические процессы в подобных ей системах, электрическим процессам — электрические и т. д.

Электрическое подобие существует при подобии электрических и магнитных полей, напряжений, токов и мощностей соответственных элементов сопоставляемых электрических систем. Электрически подобные системы, имеющие элементы, взаимно перемещающиеся в подобные интервалы времени на подобные расстояния, называются электродинамически подобными. Аналогично можно ввести понятия подобия электронно-ионных процессов, процессов электромагнитного излучения и т. д.

Так, например, математически подобными будут следующие два уравнения, описывающие физически разнородные процессы:

- уравнение переходного процесса в электрической цепи, образованной последовательным соединением элементов с активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С, которая включается на напряжение u, изменяющееся во времени t по синусоидальному закону с угловой скоростью ω.

, (11.3)

где q - заряд на конденсаторе с емкостью С;

- уравнение процесса вынужденных механических колебаний в вязкой среде закрепленного на пружине жесткостью с груза массой М, на который действуют возмущающая сила F*sinωt и пропорциональная скорости движения груза v сила сопротивления вязкой среды c = -kv.

, (11.4)

где l — расстояние, на которое перемещается груз.

Сходственными параметрами в данном случае будут М и L, k и R, с и С, u и F, а электрический колебательный контур при определенных условиях может служить аналоговой моделью объекта-оригинала (колеблющегося на пружине груза), наблюдаемый при эксперименте процесс в колебательном контуре будет одновременно являться и решением дифференциального уравнения, описывающего движение груза [27].

Теория подобия. В общем случае теория подобия — это теория, дающая возможность установить наличие подобия или позволяющая разработать способы получения его.