Уравнения Навье-Стокса

Для вывода дифференциального уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости авторы предложили рассмотреть условия динамического равновесия, выделенного из движущейся жидкости элементарный объём в виде параллелепипеда с рёбрами dx, dy, dz, параллельными осям координат (рисунок 2.12)

Рисунок 2.12

Единичные массовые силы в проекциях на оси координат обозначают через dx, dy, dz, а единичные силы инерции - через

Поверхностными единичными силами являются давления, которые в вязкой жидкости направлены не перпендикулярно площадкам, на которые они действуют. Следовательно, наряду с нормальными составляющими давления , действуют и касательные составляющие

Приняв допущение о непрерывном увеличении составляющих давления по направлениям осей координат, составляющие давления, действующие на правую грань, записывают в виде

Уравнение динамического равновесия выделенного элементарного объёма в проекции на ось х

Аналогично записывают уравнения динамического равновесия в проекции на оси

После деления этих уравнений на массу параллелепипеда получим уравнения динамики в напряжениях, которые дополняют уравнением неразрывности

(2.29)

Выражения обобщённого закона Ньютона для несжимаемой вязкой жидкости в прямоугольной системе координат представляют в виде

(2.30)

В систему уравнений (2.25) подставим значения напряжений по (2.30) и запишем напряжения правой части первого уравнения системы (2.29)

(2.31)

Аналогично для двух других уравнений системы (2.29) получают

(2.32)

(2.33)

После деления первых трёх уравнений системы (2.30) на плотность учётом выражений (2.31 – 2.33) и выделения в левых частях локальных и конвективных ускорений получают

(2.34)

где - кинематический коэффициент вязкости.

Уравнение Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности и характеристическим уравнением состояния дают систему совокупных дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости. Эти уравнения имеют очень сложный вид, поэтому их точное интегрирование удаётся лишь при решении небольшого числа задач.

Система уравнений Навье – Стокса (2.34) решается относительно составляющих скоростей при заданных начальных и граничных условиях. Так, одним из особых граничных условий является равенство нулю скоростей движения вязкой жидкости на твёрдых стенках вследствие прилипания частиц жидкости к ограничивающим твёрдым стенкам, т.е. на стенках как нормальная, так и касательная состовляющие скорости равные нулю.