Основное уравнение равномерного движения жидкости

Во многих случаях жизни мы наблюдаем равномерное движение жидкости. Например, движение жидкости в каналах, водопроводных трубах, в маслопроводах является равномерным, если при этом живое сечение, скорость течения и глубина остаются по длине потока постоянными.

Выведем основное уравнение равномерного движения, кото­рое обычно применяется при гидравлических расчетах перечи­сленных выше потоков.

Рассмотрим поток жидкости, движущийся по цилиндрической трубе (рисунок 2.12). Выделим сечениями 1 - 1и 2 - 2отсек потока с площадью живого сечения и длиной l. Обозначим через и давления в центрах тяжести живых сечений. На выделенный отсек жидкости действуют следующие силы:

1. Сила тяжести G.

2. Суммарные гидродинамические давления в сечениях 1 – 1 и 2 - 2, и .

3. Силы трения потока о стенки трубы .

4. Силы инерции отсутствуют, так как движение равномерное (без ускорения)

Нормальные силы давления со стороны стенок на боковые поверхности потока N. Сумма проекций всех действующих на отсек сил на направление движения (ось потока) должна равняться нулю. Проекции сил N будут равны нулю.

Сила тяжести равна весу выделенного сечениями 1 – 1 и 2 – 2 отсека

Суммарные гидродинамические давления

.

Для сохранения равновесия нашего отсека сила Р₂ должна быть направлена против движения потока. Суммарную силу трения потока о стенки определяют по формуле

,

где - касательные напряжения, или удельная сила трения, т.е. сила трения, приходящаяся на единицу площади боковой поверхности потока;

- смоченный периметр.

Рисунок 2.12

Суммарная сила трения Т _тр направлена против движения потока. Спроектируем все действующие на отсек силы на ось движения потока, тогда получим

. (2.35)

Или, подставляя в уравнение (2.35) приведенные выше значения сил, получим

(2.36)

Из рисунка 2.12 можно видеть, что

Тогда уравнение (2.36) примет вид

(2.37)

Разделим все члены уравнения (2.37) на

(2.38)

Согласно уравнению Бернулли

(2.39)

где - потери напора при движении потока от сечения 1 - 1до сечения 2 - 2

Заменяя левую часть уравнения (2.38) его значением из уравнения (2.39) получим

(2.40)

или

(2.41)

Вспомним, что - гидравлический уклон и, кроме того, - гидравлический радиус, а Подставляя приведенные значения в уравнение (2.41) окончательно будем иметь

или

(2.42)

Зависимость (2.42) и есть основное уравнение равномерного движения жидкости, которое показывает, что касательные напряжения, отнесенные к объемному весу жидкости, равны произведению гидравлического радиуса R на гидравлический уклон I.

Выше мы видели, что гидравлический радиус равен поло­вине геометрического радиуса. Поэтому для цилиндрического трубопровода круглого сечения

(2.43)

где - радиус трубы.

При касательные напряжения равны нулю. Максимальное значение касательные напряжения имеют на стенке трубы. Следовательно, по сечению трубопровода касательные напряжения изменяются по линейному закону. Из основного уравнения равномерного движения также следует, что касательные напряжения прямо пропорциональные напряжения потерям напора

Контрольные вопросы:

1. Каков геометрический смысл различных членов уравнения Бернулли? Каков их энергетический смысл? 1. Какие параметры связывает уравнение Бернулли? 2. Что называют полным напором? 3. Почему при движении потока реальной жидкости возникают потери напора? 4. Каким образом учитываются потери напора в уравнении Бернулли? 5. Каков геометрический смысл членов уравнения Бернулли? 6. Каков физический смысл членов уравнения Бернулли? 7. Какой закон природы подтверждает уравнение Бернулли? 8. Что такое пьезометрический и гидравлический уклон? 9. Для каких условий приемлемо уравнение Бернулли? 10. Приведите примеры практического применения уравнений. 11. В каких случаях наблюдается равномерное движение жидкости?