Решение прямой и обратной геодезических задач

Геодезическая прямая задача – по координатам одной точки, дирекционному углу и горизонтальному проложению находятся координаты второй точки.

Даны координаты Х_А, Y_А точки А, дирекционный угол a_АВ и расстояние d_АВ между этими точками.

Рис. 17. Прямая и обратная геодезические задачи

Требуется найти координаты Х_В, Y_В точки В. Из рис.17 следует, что координаты точки В равны:

Х_В = Х_А + Dх_АВ; (11)

Y_В = Y_А + Dу _АВ,

где

(12)

Разности Dх_АВ и Dу_АВ называются приращением координат и вычисляются по формулам:

(13)

Знаки приращений координат зависят от величины значения дирекционного угла.

Пример: Длина линии d равна 1,095 км, угол a равен 85°33,0', координаты точки А равны Х_А = 6065,251 км и Y_А = 4311,975 км. По формуле (11) найдем:

X_В=6065,251 +1,095cos85°33' = 6065,251 + (–0,085) = 6065,166;

Y_В= 4311,975 +1,095sin 85°33' = 4311,975 + 1,092 = 4313,067.

Геодезическая обратная задача – по известным координатам двух точек требуется найти дирекционный угол и горизонтальное проложение линии.

Даны прямоугольные координаты двух точек А (х_А, у_А) и В (х_В, у_В).

Из рисунка 17 следует, что румб линии АВ равен:

(14)

где, Dx_АВ Dy_АВ– приращение координат.

Для вычисления дирекционного угла a_АВ, по знакам приращения координат определяют название четверти (румба). Зная румб, используя таблицу 2, вычисляют дирекционный угол.

Для вычисления горизонтального проложения применяют формулы:

(15)

или

Пример: координаты точек А и В равны Х_А= 6065,251 км; Х_В= 6065,166 км, YА= 4311,975 км; Y_B= 4313,067 км.

Вычислим приращение координат:

Dх_АВ = Х_В – Х_А = – 0,085;

DY_АВ = Y_В – Y_А= 1,092.

Определим величину румба

.

По знакам приращений координат –х и +у из таблицы 2 видно, что

направление АВ находится во второй четверти, и дирекционный угол равен a = 94°27,0’.

Находим длину линии d = 1,095 км.