Расчет разветвленных цепей при наличии в них магнитосвязанных катушек

Задача расчета разветвленных электрических цепей при наличии в них магнитосвязанных катушек решается однозначно, если известны маркировка катушек и величина коэффициента взаимной индуктивности. Для расчета цепей применимы методы формирования уравнений по законам Кирхгофа и метод контурных токов, а также метод эквивалентного генератора, если отсутствует индуктивная связь между двухполюсником и выделенной ветвью. Нельзя применять без проведения специальных преобразований метод узловых потенциалов, формулы эквивалентного преобразования соединения треугольником в эквивалентное соединение звездой и обратно. Применение этих методов и формул требует введения дополнительных правил.

Запишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи с магнитосвязанными катушками.

Пусть имеется электрическая схема (рис. 5.5), в которой присутствуют магнитосвязанные катушки.

Рис. 5.5

По первому закону Кирхгофа запишем уравнения для узлов a, b, c.

Узел а i 4 - i 1 – i 3 = 0,

узел b i 2 + i 1 – i 6 = 0,

узел с i 3 + i 5 – i 2 = 0.

Три уравнения по второму закону Кирхгофа запишем, считая, что конденсаторы не обладали начальным зарядом:

Эти же уравнения в комплексной форме могут быть записаны как

Знак напряжения, обусловленного взаимной индукцией, определяется по приведенному выше правилу. Учет взаимной индукции в случае составления уравнений по методу контурных токов осуществляется в виде введения дополнительных членов в выражения для собственных и взаимных сопротивлений контуров. При этом общий вид системы уравнений остается без изменений. Так, для приведенной выше схемы необходимо записать систему из трех уравнений:

где, например

а – сопротивления, обусловленные явлением взаимной индукции, причем их знак определяется аналогично приведенному выше правилу.

5.4. «Развязывание» магнитосвязанных цепей

Невозможность непосредственного использования эффективных методов расчета, таких как, например, метода узловых потенциалов, приводит к необходимости осуществления так называемой развязки магнитосвязанных цепей.

Суть: исходную схему с магнитосвязанными индуктивностями путем введения дополнительных индуктивностей и изменения имеющихся преобразуют так, чтобы устранить магнитную связь между индуктивностями.

Рис. 5.6

Преобразования осуществляют на основе составленных по законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы. Вновь полученная и исходная схема в расчетном смысле должны быть полностью эквивалентны.

Составим уравнения по законам Кирхгофа для схемы, приведенной на рис. 5.6

Подставив в уравнение (5.1) а в уравнение (5.2) запишем:

Полученная система уравнений (5.3) позволяет построить схему электрической цепи (рис. 5.7), в которой магнитосвязанные индуктивности L 1 и L 3 заменены соответственно индуктивностями (L 1+ М) и (L 3+ М) и, кроме того, введена дополнительная индуктивность L 2=- М.

Рис. 5.7

В реальной линейной электрической цепи обеспечить отрицательную индуктивность невозможно, поэтому L 2 = – M является только расчетной величиной. В отличие от исходной в полученной схеме магнитная связь заменена гальванической. А это означает, что расчет такой схемы может быть осуществлен любым известным методом.