Основная модель

Важнейшую роль в наших рассмотрениях будет играть функция из­менения запаса.

Это связь между количеством единиц товара на складе (обозначим его через Q) и временем t.

Будем считать, что имеется один вид товара.

Если на товар имеется спрос, то функция изменения запаса Q = Q(t) убывает.

Если товар, наоборот, завозят на склад, то эта функция возрастает.

Мы будем считать возможным мгновенное по­полнение запаса.

Затраты, связанные с запасами, можно разделить на три части.

A. Стоимость товара.

Б. Организационные издержки.

Это расходы, связанные с офор­млением товара, его доставкой, разгрузкой и т. д.

B. Издержки на хранение товара.

Это затраты на аренду склада,амортизацию в процессе хранения и т. д.

Рассмотрим основные величины и предположения относительно них, принятые в рамках основной модели.

Мы будем в основном ис­пользовать в качестве единицы измерения денежных средств услов­ные единицы (УЕ), это могут быть рубли, доллары и т. п.; в качестве единицы измерения времени — год, хотя можно было бы взять ме­сяц, квартал и т. п.

1. Цена единицы товара — с УЕ.

Цена постоянна, рассматрива­ется один вид товара.

2. Интенсивность спроса — d единиц товара в год.

Будем считать,что спрос постоянный и непрерывный.

3. Организационные издержки — s УЕ за одну партию товара.

Бу­дем считать, что организационные издержки не зависят от размера
поставки, т. е. от количества единиц товара в одной партии.

4. Издержки на хранение запаса — h УЕ на единицу товара в год.
Будем считать эти издержки постоянными.

5. Размер одной партии товара постоянен — q единиц.

Партия поступает мгновенно в тот момент, когда возникает дефицит, т.е. когда запас на складе становится равным нулю.

При сделанных предположениях график функции изменения за­паса будет таким, как показано на рис.11.1:

он состоит из повторя­ющихся циклов пополнения запаса между двумя соседними дефи­цитами.

Вертикальные отрезки отвечают мгновенному пополнению запаса.

Параметры с, d, s, h считаются заданными.

Задача управления запасами состоит в выборе параметра q таким образом, чтобы мини­мизировать годовые затраты.

Для решения сформулированной задачи надо прежде всего выра­зить эти затраты через параметры с, d, s, h, q.

А. Поскольку годовая интенсивность спроса равна d, а цена еди­ницы товара — с, то общая стоимость товара в год равна cd.

Б. Поскольку в одной партии q единиц товара, а годовой спрос равен d, то число поставок равно d/q.

В течение года организацион­ные издержки равны

d

——·s

q

В. Средний уровень запаса равен отношению площади под гра­фиком за цикл к продолжительности цикла.

Этот средний уровень равен q/2 (на рис.11. 1 обозначен пунктиром).

Поскольку годовые из­держки на хранение единицы товара равны h, то общие издержки на хранение составляют:

Q

H

2

Рис.11.1 Рис.11. 2

Таким образом, общие издержки С вычисляются по формуле:

sd qh

С = сd + —— + ——

Q 2

Еще раз напомним, что в рамках модели параметры с, d, s, h счи­таются заданными и требуется найти такое число q*, чтобы функция С = C(q) принимала наименьшее значение на множестве q > 0 имен­но в точке q*.

График функции С — C(q) показан на рис.11. 2.

Для нахождения точки q* минимума функции С — C(q) найдем ее производную (с, d, s, h — фиксированные числа):

sd ’ qh ’ sd h

С’ (q) = ( сd )’+ —— + —— = – —— + ——

Q 2 q2 2

Приравнивая C'(q) к нулю, получаем

sd h

– —— + —— = 0

q ² 2

Отсюда можно найти q*:

2 sd

q* = ——

√ h

Полученная формула называется формулой оптимального запаса или формулой Харриса (Harris).

Пример 1. Пусть интенсивность равномерного спроса = 1000 единиц товара в год.

Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение — 4 УЕ на единицу товара в год, цена товара — 5 УЕ.

Определить оптимальный размер партии в предположении, что система подчиняется основной модели.

Решение. Имеем: d = 1000, s = 10, h = 4, с = 5.

Общие затраты равны:

sd qh 10000

С = сd + —— + —— = 5000 + ———— + 2q

Q 2 q

10 000

Тогда: C’(q)= – ———— + 2

q2

а оптимальный размер поставки q* является решением уравнения: 10 000

– ———— + 2 = 0

q ²

т. е. q* = √ 5000 ≈ 71.

Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год п* и соответствующую продол­жительность цикла изменения запаса t*:

п* = d/q* = 1000 /71 ≈ 14;

t* = 365 / п* = 365/14 ≈ 26