| §1 Скалярное поле
|
| 1. Скалярное поле
| Если каждой точке М области некоторого пространства соответствует определенное число  , говорят, что в области определено скалярное поле.
| Задача.
Скалярным полем является…
Варианты ответов: 1) поле скоростей
2) поле силы тяжести 3) поле плотности воздуха
4) магнитное поле
Решение.
Скалярной функцией среди заданных является плотность воздуха, поэтому поле плотности воздуха является скалярным.
Ответ. №3.
|
| 2. Линии уровня
| Линия уровняскалярного поля – это линия на плоскости Oxy, в точках которой функция  сохраняет постоянное значение.
 ,  .
| Задача.
Построить линии уровня функции  .
Решение.
Для того чтобы найти линии уровня данной функции, пересечем поверхность плоскостью  . Получаем   . Задавая с различные значения, например,  получим семейство линий уровней, представляющих собой окружность. При  окружность вырождается в точку  .
|
| 3. Поверхности уровня
| Поверхностью уровняскалярного поляназывается геометрическое место точек в пространстве, в которых функция  принимает постоянное значение.
|
 ,
|
4. Градиент скалярного поля
Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции  в точке  называют градиентом функции.
Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции.
Наибольшая скорость изменения функции в т. М равна  .
|
Задача.
Градиентом скалярного поля  в точке  является вектор…
Решение.
 ;
подставим координаты точки :
 .
Ответ.  .
Задача.
Направление наискорейшего возрастания скалярного поля  в точке  совпадает с направлением вектора …
Решение.
Направление наискорейшего возрастания скалярного поля показывает градиент:
 .
Подставим координаты точки :  .
Ответ. 
Задача.
Укажите рисунок, на котором изображен градиент функции  , вычисленный в точке  .
Варианты ответов:
1)  2)  3)  4) 
Решение.
 .
В точке   . Вектор  изображен на рис. 4).
Ответ. №4.
|
6. Производная скалярного поля по направлению
Производной от функции в точке  по направлению вектора  называется предел
 .
Производная по направлению характеризует скорость изменения поля в точке М по этому направлению.
Если  , то функция  возрастает в направлении , если  , то функция в направлении убывает.
 - мгновенная скорость изменения функции в направлении в точке .
 .
Если  , то  ,  , 
|
Задача.
Производная скалярного поля  в точке  в направлении единичного вектора  равна…
Варианты ответов: 1) 11 2) 5 3) 6 4) 1
Решение.
 .  ; в т. М  ,  ; в т. М  .
 ;  . Тогда 
Ответ. №3.
|
| §2 Векторное поле
|
| 1. Векторное поле
| Если каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор  , то говорят, что задано векторное поле.
| Задача.
Векторным полем является…
Варианты ответов:
1) поле атмосферного давления
2) поле силы тяжести 3) поле плотности воздуха
4) поле температур
Решение.
Векторной функцией среди заданных является сила тяжести, поэтому поле силы тяжести является векторным.
Ответ. №2.
|
| 2. Дивергенция (расходимость) векторного поля
| Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля в точке М называется скаляр вида
 .
| Задача.
Дивергенция векторного поля  равна
Варианты ответов: 1) 5 2) 6 3) 7 4) 0 Решение.
Ответ. №2.
|
| 3. Ротор (вихрь) векторного поля
| Ротором (или вихрем) векторного поля  называется вектор, определяемый формулой
 .
| 
|
| 4. Поток векторного поля
| Потоком вектора  через поверхность  называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности.
| 
|
| 5. Циркуляция
| Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора на вектор  , касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора вдоль L.
|
|
| 6. Формула
Остроградского – Гаусса
| Поток векторного поля через замкнутую поверхность (в направлении внешней нормали, т.е. изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля, взятому по объему V, ограниченному данной поверхностью.
|  ,
|
| 7. Формула Стокса
| Циркуляция векторного поля  по замкнутому кругу L равна потоку его ротора через любую кусочно-гладкую поверхность , лежащую в поле вектора и ограниченную контуром L.
|
|
