Вычисление приближенного значения функции
 (*)
| Задача.
Значение функции  в точке  можно вычислить по формуле…
Варианты ответов:
1) 
2) 
3) 
4) 
Решение.
 , тогда 
Найдем производную  ;  .
Тогда  .
Подставим в формулу (*)
Ответ. №1
|
Приближенное решение уравнений
Если для уравнения  известно, что
1)  - непрерывная функция на отрезке 
2) на отрезке уравнение имеет единственный корень.
Тогда функция на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е.
 и  или наоборот  и  .
С геометрической точки зрения.
|
Задача.
Действительный корень уравнения  принадлежит интервалу…
Варианты ответов: 1)  2) 
3)  4) 
Решение.
 .
Рассмотрим первый интервал  .
 .
 .
Рассмотрим второй интервал .
 .
 .
Рассмотрим третий интервал
.
 .
Рассмотрим четвертый интервал
.
.
Только на четвертом интервале на концах функция принимает значения разных знаков, следовательно, корень уравнения принадлежит четвертому интервалу.
Ответ. №4.
Задача.
Действительный корень уравнения  принадлежит интервалу…
Варианты ответов: 1)  2) 
3)  4) 
Решение.
Рассмотрим первый интервал
На концах отрезках функция принимает значения разных знаков. Следовательно, корень принадлежит данному интервалу.
Ответ. №1.
|
Метод половинного деления
Основан на утверждении:
при делении отрезка пополам выбирается тот отрезок, на концах которого функция имеет разные знаки.
Середина отрезка вычисляется по формуле 
| Задача.
Три итерации метода половинного деления при решении уравнения  на отрезке  требуют последовательного вычисления значений функции  в точках…
Варианты ответов: 1) 
2)  3) 
4) 
Решение.
Найдем значения функции на концах заданного отрезка  .
Середина отрезка : 
Значение функции в середине 
Выбираем отрезок с разными знаками. Это отрезок  .
Найдем середину этого отрезка  .
Значение функции в середине  .
Выбираем отрезок с разными знаками. Это отрезок  .
Найдем середину отрезка : 
Ответ. №1
|
Решение дифференциального уравнения с помощью разложения функции в степенной ряд
Степенной ряд для функции имеет вид
Если  , то
 (**)
| Задача.
Дано дифференциальное уравнение  при  . Тогда первые три члена разложения его решения в степенной ряд имеют вид…
Варианты ответов: 1)  2) 
3)  4) 
Решение.
Из формулы (**) видно, что нужно найти  .
По условию задачи , т.е.  ;  .
Т.к. , то  .
Найдем производную от обеих частей исходного уравнения
, получим  .
Подставим уже полученные ,  .
Тогда  .
Полученные значения  ,  и  подставим в степенной ряд (**)
Ответ. №1.
|
Приближенное вычисление определенных интегралов
С геометрической точки зрения, если на  , тогда  - площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми  ,  , осью  и графиком функции  .
Метод прямоугольников
Имеют место следующие формулы
|
Задача.
Формула приближенного вычисления определенного интеграла, соответствующая рисунку, имеет вид…
Варианты ответов: 1) 
2) 
3) 
4) 
Решение.
Определенный интеграл приближенно равен сумме площадей заштрихованных прямоугольников
Ответ. №3.
|
Метод трапеций
| Задача.
Формула приближенного вычисления определенного интеграла, соответствующая рисунку, имеет вид…
Варианты ответов: 1) 
2) 
3) 
4) 
Решение.
Определенный интеграл приближенно равен сумме площадей заштрихованных трапеций
Ответ. №4.
|
Метод Эйлера решения дифференциального уравнения
Решение  дифференциального уравнения  , удовлетворяющего начальному условию  можно приближенно определить в точках
 ;
 и т.д.,
где  - шаг изменения аргумента
 (***)
|
Задача.
Найти, используя метод Эйлера, значения функции , определяемой дифференциальным уравнением  при начальных условиях , принимая  .
Ограничиться отысканием первых трех значений .
Варианты ответов: 1)  ;  ; 
2)  ;  ; 
3) ;  ; 
Решение.
1) Из начального условия ; .
Найдем  .
2) 
Для вычисления  воспользуемся формулой (***)
3) 
 .
Ответ. №2.
|
