Основные законы распределения. Непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке [ ], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке и равна нулю

Непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке [ ], если ее плотность распределения постоянна на этом отрезке и равна нулю вне него:

(31)

Функция распределения случайной величины , имеющей равномерное распределение на [ ], есть

ее математическое ожидание

,

а дисперсия

.

Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром , если ее плотность распределения имеет вид:

(32)

Функция распределения случайной величины , имеющей показательное распределение, есть

(33)

ее математическое ожидание

,

а дисперсия

.

Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность распределения имеет вид:

. (34)

В этом случае кратко записывают ~ .

Математическое ожидание случайной величины , распределенной по нормальному закону, равно параметру :

,

а дисперсия – параметру :

.

В частном случае, когда , а , т.е. ~ говорят о стандартном нормальном распределении.

Функция распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону, не выражается через элементарные функции.

Вероятность того, что , распределенная по нормальному закону, примет значение, принадлежащее интервалу [ ], равна

, (35)

где функция Лапласа, для которой составлены таблицы (приложение 2).

Вероятность того, что отклонение , распределенной по нормальному закону, от математического ожидания (по абсолютной величине) не превысит величину , равна

. (36)

Правило трех сигма:

,

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратичного отклонения, почти достоверное событие.

Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:

.

Пример 40. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать ему придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины – времени ожидания поезда пассажиром.

Решение. Пусть время ожидания поезда. Эта случайная величина на временном отрезке [0;2] имеет равномерное распределение. Отсюда плотность вероятности определяется по формуле (31):

на отрезке [0;2] и вне его.

Тогда искомая вероятность найдется по свойству 2 плотности вероятности

.

Используя формулы вычисления математического ожидания и дисперсии для равномерного распределения, получим:

1 (мин.), .

Пример 41. Цена деления шкалы прибора равна 0,1. Показания округляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02.

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину , которая распределена равномерно между двумя соседними целыми делениями. В задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения , равна 0,1. Поэтому по формуле (31) имеем на этом интервале

10.

Очевидно, что ошибка отсчета превысит величину 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08).

По свойству 2 плотности распределения

0,6.

Пример 42. Установлено, что время ремонта телевизора есть случайная величина , распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизора составляет 15 дней. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Решение. По условию задачи математическое ожидание равно 15, т.е.

.

Отсюда определяем значение параметра показательного распределения

.

Тогда по формуле (33) находим функцию распределения вероятностей

.

Искомую вероятность вычислим через функцию распределения:

0,264.

Далее находим дисперсию случайной величины , распределенной по показательному закону

225

и среднее квадратическое отклонение

15 (дней).

Пример 43. Нормально распределенная случайная величина задана плотностью распределения

.

Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины , а также вероятность того, что она примет значение, заключенное в интервале (1;3).

Решение. Сравнивая формулу (34) с записью плотности распределения данной случайной величины, видим, что математическое ожидание равно 2, а дисперсия = 25.

Для определения вероятности воспользуемся формулой (35)

.

Из приложения 2 находим значение функции Лапласа 0,0793 и далее искомую вероятность 0,1586.

Пример 44. Производится измерение веса пакета с чипсами без систематических ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 10 г. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 г.

Решение. Поскольку измерение производится без систематических ошибок, то математическое ожидание случайной величины равно нулю, т.е. . Поэтому формула (36) примет вид

.

Положив 15, 10, находим по последней формуле

.

По приложению 2 определяем значение функции Лапласа 0,4332.

Отсюда 0,8664.