Плоскость в пространстве

Пусть Р – произвольная плоскость в пространстве. Точка М₀(x₀, y₀, z₀) Î Р. Вектор = (A,B,C) –ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости Р (нормальный вектор плоскости)

Необходимо получить уравнение плоскости.

Решение.

Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору . Тогда скалярное произведение

× = 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

(5.1)

Уравнение (5.1) называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку.

Легко показать, что уравнение (5.1) приводится к виду:

Ax + By + Cz + D = 0 – уравнение 1-ой степени относительно переменных координат х, у, z (D = -Ax₀ – By₀ – Cz₀).

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:

Ax + By + Cz + D = 0, (5.2)

где А, В, С – координаты вектора - вектор нормали к плоскости.

Рассмотрим особенности расположения плоскости в тех случаях, когда те или иные коэффициенты уравнения (5.2) обращаются в нуль.

Частные случаи общего уравнения плоскости: