Глава 4. Основы аналитической геометрии

Уравнение линии на плоскости.

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Пусть на плоскости задана декартова система координат (основные сведения о прямоугольной системе координат считаются известными).

Линия на плоскости рассматривается как множество точек, обладающих некоторым геометрическим свойством. Например, окружность радиуса R – множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центр окружности).

Положение точки на плоскости определяется заданием пары чисел – ее координат, а положение линии на плоскости определяется с помощью уравнения (т.е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Определение. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Oxy называется уравнение y = f(x), которому удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Уравнение линии позволяет заменить изучение геометрических свойств линии исследованием ее уравнения.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t: x = j(t);

y = y(t).

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости. Различные виды уравнений прямой.

Простейшей из линий является прямая, она относится к линиям 1-го порядка, поскольку ее уравнение содержит переменные x и y только в первой степени.

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0, (2.1)

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.