Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.
Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .
Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.
Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:
Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
.
Таким образом, и .
Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .
.
Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае . Тогда по определению векторного произведения
Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также векторам и , т.к. векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Т. к. , и следовательно, , то .
Поэтому .
Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.
.
Примем без доказательства.
Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.
Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.
В частности .
Примеры.
.
.
Найдем .
.
Можно показать, что если и , то координаты векторного произведения векторов и находятся по формуле:
.
Примеры.
.
Так как векторы и коллинеарны, то . Векторы и ортогональны, поэтому . Итак, получили систему уравнений
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 1082 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!