Общее уравнение плоскости

Можно показать, что любое уравнение первой степени относительно декартовых координат x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости. Это уравнение записывается в виде:

Ax+By+Cz+D =0

и называется общим уравнением плоскости, причём координаты A, B, C здесь являются координатами нормального вектора плоскости.

Рассмотрим частные случаи общего уравнения. Выясним, как располагается плоскость относительно системы координат, если один или несколько коэффициентов уравнения обращаются в ноль.

Свободный член равен нулю D = 0. В этом случае уравнение плоскости принимает вид Ax+Cy+Bz =0. Т.к. числа x =0, y =0, z =0 удовлетворяют уравнению плоскости, то она проходит через начало координат. Один из коэффициентов при текущих координатах равен нулю. Пусть например A =0. В этом случае уравнение плоскости имеет вид By+Cz+D =0. Нормальный вектор плоскости имеет координаты и перпендикулярен оси Ox. Следовательно, плоскость параллельна оси Ox. Аналогично, если B = 0, то плоскость параллельна оси Oy и C = 0 – плоскость параллельна оси Oz. Т.о., если в уравнении плоскости один из коэффициентов при текущей координате равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси. Коэффициент при текущей координате и свободный член равны нулю. Например, A = D = 0. В этом случае уравнению By + Cz = 0 соответствует плоскость, проходящая через начало координат (согласно п.1). Кроме того, учитывая п.2, данная плоскость должна быть параллельна оси Ox. Следовательно, плоскость проходит через ось Ox. Аналогично, при B=D =0 плоскость Ax+Cz =0 проходит через ось Oy. При C=D =0 плоскость проходит через ось Oz. Два коэффициента при текущих координатах раны нулю. Пусть, например, A=B =0. Тогда плоскость Cz+D =0 в силу п.2 будет параллельна осям Ox и Oy, а следовательно параллельна координатной плоскости xOy, и проходит через точку с координатой. Аналогично, уравнениям Ax+D =0 и By+D =0 соответствуют плоскости, параллельные координатным плоскостям yOz и xOz. Два коэффициента при текущих координатах и свободный член равны нулю. Пусть, например, A=B=D =0. Тогда уравнение плоскости имеет вид Cz =0 или z =0. Эта плоскость проходит через начало координат и параллельна осям Ox и Oy, т. е. уравнение определяет координатнуюплоскость xOy. Аналогично, x =0 – уравнение координатной плоскости yOz и y =0 – плоскость xOz.

Примеры.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей параллельно оси Oy, через точки M₁ (1; 0; -1), M₂ (-1; 2;0).

Так как ось Oy параллельна , то уравнение плоскости Ax+Cy+D =0. Учитывая, что M₁ Î α, M₂ Î α, подставим координаты этих точек в уравнение и получим систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными

Положив D = 1, найдем A = 1 и C = 2. Следовательно, уравнение плоскости имеет вид x+ 2 z +1=0.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2;3;-4) параллельно плоскости yOz (перпендикулярно оси Ox).

Так как yOz ||α, то уравнениеплоскости будет Ax+D =0. С другой стороны M Î α, поэтому 2A+D =0, D =-2 A. Поэтому плоскость имеет уравнение x -2=0.