 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Виды движения твердого тела
|
|
- поступательное движение,
- вращение вокруг неподвижной оси,
- плоское движение,
- сферическое движение,
- свободное движение.
Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению.
Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин колеса обозрения относительно Земли и т.д.
Задача кинематики поступательного движения твердого тела сводится к задаче кинематики материальной точки.
Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
Доказательство.
Если выбрать две точки твердого тела А и В, то радиус-векторы этих точек связаны соотношением
Траектория точки А – это кривая, которая задается функцией 
, а траектория точки B – это кривая, которая задается функцией 
. Траектория точки B получается переносом траектории точки A в пространстве вдоль вектора AB, который не меняет своей величины и направления во времени (AB = const). Следовательно, траектории всех точек твердого тела одинаковы.
Продифференцируем по времени выражение
Получаем
Продифференцируем по времени скорость и получим выражение aB = aA. Следовательно, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.
Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек
Враща́тельное движе́ние — вид механического движения. При вращательном движении материальной точки она описывает окружность. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела все его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.
При выборе некоторых осей вращения, можно получить сложное вращательное движение — сферическое движение, когда точки тела движутся по сферам. При вращении вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тела или вращающуюся материальную точку, вращательное движение называется круговым.
Вращение характеризуется углом 
, измеряющимся в градусах или радианах, угловой скоростью 
(измеряется в рад/с) и угловым ускорением 
(единица измерения — рад/с²).
6. Связь между угловым и линейным параметром
Для изменения радиус-вектора 
, проведенного в точку A из произвольной точки О оси вращения тела, имеем 
. Поделим обе части этого выражения на 
с учетом того, что 
и 
, 
- формула Эйлера.
Модуль скорости 
. Найдем полное ускорение точки A из формулы Эйлера, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения двух функций 
или 
.
Определим, какое слагаемое представляет собой нормальное, а какое –тангенциальное, ускорения:
- второе слагаемое, 
- первое слагаемое;
или, рассуждая иначе: так как ось вращения неподвижна, то 
- это 
; 
- 
.
Эти проекции равны 
; 
,
а модуль полного ускорения - 
.
Векторы полного ускорения точек твердого тела, лежащих на одном и том же радиусе, проведенном перпендикулярно оси вращения, параллельны друг другу, а их модуль растет пропорционально расстоянию от оси. Угол 
характеризует направление 
относительно радиуса и равен
, он не зависит от 
.
Итак, линейные и угловые параметры связаны следующим образом:
, 
, 
, .
Можно провести следующую аналогию между поступательным и вращательным видами движения: так, при 
: 
, 
; при 
: 
, 
.
7. Динамика. Масса и импульс тела. Основные законы динамики.
Динамика – это раздел механики, в котором изучают движение тел под действием приложенных к ним сил. При изучении величин, которые характеризуются не только величиной, но и направлением (например, скорость, ускорение, сила и т. п.) применяют их векторное изображение.
Масса
Масса - физическая величина, являющаяся мерой инертности тел (инертная масса) и их гравитационных свойств (гравитационная масса)
Инертность - податливость тела к изменению его скорости (по модулю или направлению).
Единицы измерения массы в СИ:
.
Свойства массы:
- аддитивность: 
- масса системы равняется сумме масс отдельных еe элементов;
- независимость от скорости движения;
- постоянство массы для изолированной системы тел и независимость от происходящих в них процессов: 
- закон сохранения массы.
Импульс тела
- количество движения (по Ньютону); импульс (современное название).
В основе классической динамики в механике (основной раздел механики) лежат три закона Ньютона.
Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.
Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.
Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета.
Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.
Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т. е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).
Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил
тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил).
В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой
приложения. Итак, сила — это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.
Второй закон Ньютона — основной закон динамики поступательного движения — отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.
Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда пропорционально равнодействующей приложенных сил: 
.
При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения
оказываются различными, а именно 
Учитывая, что сила и ускорение — величины векторные, можем записать 
Соотношение выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе
материальной точки (тела).
В СИ коэффициент пропорциональности к — 1. Тогда 
или 
Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении ее можно внести под знак производной: 
Это выражение — более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение называется также уравнением движения материальной точки.
Если на тело действует несколько сил, то в формулах под F подразумевается их результирующая
(векторная сумма сил).
Единица силы в СИ — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 
в направлении действия силы: 1Н = 1кг* . Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.
Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: 
, где 
— сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; 
— сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.
Третий закон Ньютона, как впрочем, и первые два, справедлив только в инерциальных системах отсчета.
8. Классификация сил. Всё о силах.
Сила – это векторная величина, характеризующая меру воздействия на материальную точку в какой-либо момент времени со стороны других материальных объектов.
Размерность силы:
,
Результирующая всех сил, действующих на исследуемую точку, по принципу суперпозиции
,где 
- сила, с которой действовала бы на данную точку 
-ое тело в отсутствие других тел.
Линия действия силы – прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
Две силы равны по модулю и противоположено направлены – если они, приложенные к телу, не вызывают ускорения.
Виды взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, сильное, слабое.
Два проявления сил:
- статическое (деформация тел),
-динамическое (изменение скорости движения).
Классификация сил
- Фундаментальные силы:
a) гравитационные,
б) электрические.
- Приближенные силы:
а) сила тяжести;
б) сила трения;
в) упругая сила (сила упругости);
г) сила сопротивления.
а) Сила тяжести в системе отсчета, связанной с Землей,
Сила реакции 
подвеса или опоры - это сила, с которой на тело действуют другие тела, ограничивающие его движение.
Вес тела 
– сила, с которой тело действует на опору или подвес.
Если подвес или опора покоится относительно Земли (или движется без ускорения):
,
б) Сила трения
1) внешняя (возникает в местах соприкосновения тел и препятствует их относительному перемещению);
- трение скольжения (возникает при поступательном движении одного тела по поверхности другого);
- трение качения (возникает, когда одно тело катится по поверхности другого);
- трение покоя (возникает при попытках вызвать перемещение);
2) внутренняя (возникает при перемещение частей жидкости или газа)
Эмпирический закон для всех типов сил внешнего трения:
,где 
- сила нормального давления, прижимающая соприкасающиеся поверхности друг к другу, 
- коэффициент трения скольжения (покоя, качения), зависящий от природы и состояния поверхностей (шероховатости и пр.).
в) Сила упругости
, где - радиус-вектор, характеризующий смещение материальной точки из положения равновесия, 
- коэффициент пропорциональности.
Закон Гука:
, 
, где 
- жесткость пружины, зависящая от материала и размеров пружины; 
- внешняя сила, 
- удлинение пружины.
г) Сила сопротивления
, где 
- скорость тела относительно среды, - коэффициент пропорциональности.
9. Движение тела с переменной массой. Уравнение Мещерского.
Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п. Такое движение называется движением с переменной массой.
Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т — dm, a скорость станет равной v + dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt
где и — скорость истечения газов относительно ракеты.
Тогда 
.
Если на систему действуют внешние силы, то 
поэтому 
или 
Второе слагаемое в правой части называют реактивной силой Fp. Если и противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится. Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы, которое впервые было выведено И. Б. Мещерским (1859-1935):
, где 
- реактивная сила, которая возникает в результате действия на тело присоединяемой (отделяемой) массы.
10. Движение тела с переменной массой. Формула Циолковского.
Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п. Такое движение называется движением с переменной массой.
Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т — dm, a скорость станет равной v + dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt
где и — скорость истечения газов относительно ракеты.
Тогда 
.
Если на систему действуют внешние силы, то 
поэтому 
или 
Полагая F = 0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим 
, откуда 
Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса 
, то С= 
. Следовательно, 
Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть стартовая масса ракеты; 2) чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
11. Динамика вращательного движения твердого тела.
Основной закон.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 6532 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
